# 符号数学
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# 方程求解
求解代数和微分方程
线性方程和方程组
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| solve_for | 为一组变量 vars 求解方程 eqs |
| equationsToMatrix | 将线性方程转换为矩阵形式 |
| eliminate | 从有理方程中消除变量 |
| finverse | 反函数 |
| islinear | 检查表达式是否是齐次线性 |
| isaffine | 检查表达式是否是仿射的 |
| isolate | 分离方程中的变量或表达式 |
| find_poles | 表达式或函数的极点 |
非线性方程和方程组
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| NonlinearSystem | 创建非线性方程组系统 |
| nsolve | 非线性方程组求解 |
| sym_nsolve | 符号求解非线性方程组 |
常微分方程系统
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| dsolve | 解微分方程组 |
| ODESystem | 创建常微分方程系统 |
| ODEProblem | 定义 ODE 问题 |
| ode_order_lowering | 将常微分方程的阶数降低到一阶 |
| calculate_massmatrix | 质量矩阵 |
最优系统
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| OptimizationProblem | 生成优化问题 |
| OptimizationSystem | 优化系统 |
| calculate_gradient | 计算系统梯度 |
随机微分方程系统
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| SDEFunction | 随机微分方程函数 |
| SDESystem | 随机微分方程系统 |
微分代数方程系统
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| incidence_matrix | 返回图的稀疏节点-弧关联矩阵 |
| dae_index_lowering | 自动降低dae指标 |
| ODAEProblem | 定义 ODE 问题 |
| ODESystem | 创建常微分方程系统 |
| structural_simplify | 简化代数方程并计算方程拓扑排序 |
| tearing | 撕裂系统中的非线性方程 |
| ode_order_lowering | 将常微分方程的阶数降低到一阶 |
| decic | 为带有代数约束的一阶隐式常微分方程组求得一致的初始条件 |
| findDecoupledBlocks | 寻找方程组的解耦块 |
| incidenceMatrix | 计算方程组的关联矩阵 |
| isLowIndexDAE | 检查微分方程的微分指数是否小于二 |
| massMatrixForm | 提取微分代数方程组的质量矩阵及其右侧 |
| reduceDAEIndex | 将一阶微分代数方程组转换为等价的微分指数为 1 的系统 |
| reduceDAEToODE | 将一阶半线性微分方程系统转换为等价的微分指数为 0 的系统 |
| reduceDifferentialOrder | 将高阶微分方程系统转变为等价的一阶微分方程系统 |
| reduceRedundancies | 通过减少多余的方程和变量简化一阶微分代数方程组 |
偏微分方程系统
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| pdeCoefficients | 提取偏微分方程的系数 |
| pdeCoefficientsToDouble | 将符号 PDE 系数转为浮点数 |
其他函数
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| @parameters | 定义一个或多个已知变量 |
| @named | 重写或命名系统 |
| equations | 获取系统方程 |
| get_eqs | 获取系统方程 |
| get_states | 获取系统状态变量 |
| get_ps | 获取系统已知参数 |
| get_iv | 获取系统自变量 |
| get_defaults | 获取系统参数默认值 |
| calculate_tgrad | 计算系统的时间梯度 |
| calculate_jacobian | 计算系统的雅可比矩阵 |
| modelingtoolkitize | 从方程问题转换为方程系统 |
| independent_variables | 获取系统自变量 |
| convert_system | 将非线性系统转化为常微分方程系统 |
| structural_simplify | 从方程问题转换为方程系统 |
# 公式运算
简化或修改表达式，替换部分表达式
简化
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| simplify | 代数简化 |
| sym_simplify | 代数简化 |
| simplify_fractions | 化简符号有理表达式 |
| flatten_fractions | 展平相加的嵌套分式 |
| substitute_expr! | 符号替换 |
| quick_cancel | 代数简化 |
公式重排和重写
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| arguments | 获取 x 的参数 |
| sym_collect | 收集系数 |
| expand | 在加法上分布乘法来扩展表达式 |
| partfrac | 部分分式分解 |
| factor | 因式分解 |
| div | 多项式除法的商 |
| lhs | 方程的左侧 |
| numden | 提取分子和分母 |
| rhs | 方程的右侧 |
| substitute | 符号替换 |
| sym_combine | 合并相同代数结构的项 |
| sym_compose | 功能组成 |
# 微积分
符号微分、积分、序列运算、极限和变换
极限，微分和积分
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| limit | 符号表达式的极限 |
| Differential | 定义微分规则 |
| expand_derivatives | 展示已求导表达式 |
| derivative | 对表达式求所给变量的一阶导数 |
| int | 定积分和不定积分 |
| vpaintegral | 数值积分 |
| changeIntegrationVariable | 变量替换求积分 |
| integrateByParts | 分部积分 |
| sym_release | 计算积分 |
矢量分析
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| divergence | 矢量场的散度 |
| laplacian | 矢量场的散度 |
| potential | 矢量场的势能 |
| gradient | 标量函数的梯度向量 |
| jacobian | 标量函数的梯度向量 |
| hessian | 标量函数的 Hessian 矩阵 |
| cumprod | 沿维度dim累积积 |
| cumsum | 沿维度dim累积和 |
| vectorPotential | 向量场的向量势 |
| TySymbolicMath.curl | 向量场的旋度 |
求极值
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| sym_extrema | 返回符号表达式的极值 |
交互工具
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| rsums | 黎曼和的交互式评估 |
级数
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| sym_series | Puiseux 级数 |
| symsum | 级数和 |
| symprod | 级数积 |
| taylor | 泰勒展开 |
| taylor_series | 泰勒展开 |
# 符号变换
符号变换
# 假设
设定假设
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| assume | 设置符号对象的假设 |
| assumptions | 显示影响符号变量的假设 |
| assumeAlso | 添加符号对象的假设 |
# 线性代数
符号向量和矩阵上的线性代数运算
矩阵运算与变换
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| cat | 串联符号数组 |
| hcat | 串联符号数组 |
| vcat | 串联符号数组 |
| eltype | 获取符号数组元素数据类型 |
| length | 获取符号数组长度 |
| cross | 计算两个 3 向量的叉积 |
| kron | Kronecker 张量积 |
| dot | 计算两个向量之间的点积 |
| diag | 提取符号矩阵对角线元素 |
| diagm | 创建符号对角矩阵 |
| triu | 提取符号矩阵上对角线元素 |
| tril | 提取符号矩阵下对角线元素 |
| ndims | 计算符号数组维数 |
| size | 计算符号数组维度 |
| istriu | 判断符号矩阵是否为上三角矩阵 |
| istril | 判断符号矩阵是否为下三角矩阵 |
| axes | 返回数组 A 沿维度 d 的有效索引范围 |
| Symmetric | 矩阵Hermitian |
| Hermitian | Hermitian矩阵 |
| ishermitian | 判断矩阵是否为Hermitian矩阵 |
| issymmetric | 判断矩阵是否为对称矩阵 |
| UpperTriangular | 上三角矩阵 |
| UnitUpperTriangular | 对角线为单位元的上三角矩阵 |
| LowerTriangular | 下三角矩阵 |
| UnitLowerTriangular | 对角线为单位元的下三角矩阵 |
| UpperHessenberg | 矩阵的 UpperHessenberg 视图 |
| Tridiagonal | 三对角矩阵 |
| shape | 数组 A 沿维度 d 的有效索引范围 |
| tr | 对角元素求和 |
| sym_sort | 对符号数组中的元素排序 |
| colon | 创建符号向量、数组索引和 for 循环迭代 |
线性方程
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| det | 计算矩阵行列式 |
| logdet | 矩阵行列式的对数 |
| logabsdet | 矩阵行列式绝对值的对数 |
| sum | 计算矩阵元素和 |
| inv | 计算矩阵逆 |
| sym_linsolve | 求解符号矩阵形式的线性方程 |
| sym_adjugate | 符号方阵的伴随矩阵 |
| norm | 计算数组范数 |
| sym_pinv | 符号矩阵的 Moore-Penrose 逆（伪逆） |
| sym_rank | 求符号矩阵的秩 |
| sym_rref | 简化的行阶梯形矩阵（Gauss-Jordan 消元法） |
| \ | 左除 |
| adjoint, ' | 符号矩阵复共轭转置 |
| cond | 矩阵的条件数 |
| condskeel | 矩阵的 Skeel 条件数 |
| sym_null | 矩阵的零空间 |
矩阵分解
特征值和特征向量
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| eig | 符号矩阵的特征值和特征向量 |
矩阵分析和向量演算
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| gradient | 标量函数的梯度向量 |
| divergence | 矢量场的散度 |
| laplacian | 矢量场的散度 |
| potential | 矢量场的势能 |
| jacobian | 标量函数的梯度向量 |
| hessian | 标量函数的 Hessian 矩阵 |
| vectorPotential | 向量场的向量势 |
特殊矩阵
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| bernsteinMatrix | 伯恩斯坦矩阵 |
| sym_toeplitz | 符号托普利茨矩阵 |
# 多项式
特征和最小多项式，多项式的系数
多项式运算
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| coefficients | 多项式系数 |
| gbasis | 简化格罗布纳基 |
| sym2poly | 从符号多项式中提取所有数值系数（包括零）的向量 |
| deg | 一元多项式的次数 |
| maxdegree | 多项式最高项的次数 |
| mindegree | 多项式最低项的次数 |
| check_poly | 判断符号表达式是否为多项式 |
| find_poles | 表达式或函数的极点 |
| find_roots | 多项式的根 |
| horner | Horner 嵌套多项式表示 |
| denominator | 分母 |
| numerator | 分子 |
| factor | 因式分解 |
| factors | 将多项式因式分解结果输出字典 |
| gcd | 最大公因式 |
| gcdx | 最大公因式与 Bézout 系数 |
| polys | 转换为多项式类型 |
| poly2sym | 从系数向量创建符号多项式 |
| polynomialDegree | 多项式的次数 |
| sym | Sym 类型或因式相加 |
| leading | 多项式最高次项的系数 |
| cont | 多项式系数的最大公约数 |
| prim | 本原多项式 |
| decompose | Yun 算法因式分解 |
| rationalized | 将多项式系数转换为分数 |
| unrationalize | 将分母为 1 的有理系数转换为整数 |
| isdependent | 判断是否依赖于指定变量 |
| polynomialReduce | 通过除法减少多项式次数 |
| resultant | 两个多项式的结式 |
| charpoly | 矩阵的特征多项式 |
| minpoly | 矩阵的极小多项式 |
| div, ÷ | 多项式的整除运算 |
| rem, % | 多项式整除运算的余式 |
| divrem | 多项式整除运算的商和余式 |
特殊多项式
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| bernstein | 伯恩斯坦多项式 |
| chebyshevT | 第一种切比雪夫多项式 |
| chebyshevU | 第二种切比雪夫多项式 |
| gegenbauerC | 格根鲍尔多项式 |
| hermiteH | 埃尔米特多项式 |
| jacobiP | 雅可比多项式 |
| laguerreL | 广义拉盖尔函数以及拉盖尔多项式 |
| legendreP | 勒让德多项式 |
# 数学函数
对数和特殊函数
常数
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| catalan | 卡塔兰常数 |
| eulergamma, γ | 欧拉-马歇罗尼常数 |
| golden, φ | 黄金比例 |
| π | 圆的周长与其直径的比率 |
| ℯ | 欧拉数 |
对数和指数
多项式对数与泽塔函数
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| hurwitzZeta | Hurwitz zeta 函数 |
| sym_zeta | 黎曼泽塔函数 |
三角计算函数
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| sin | 符号正弦函数，以弧度为单位 |
| sind | 符号正弦函数，以度为单位 |
| sinpi | 准确地计算 sin(X*pi) |
| asin | 符号反正弦函数，以弧度为单位 |
| asind | 符号反正弦函数，以度为单位 |
| sinh | 符号双曲正弦函数 |
| asinh | 符号反双曲正弦函数 |
| cos | 符号余弦函数，以弧度为单位 |
| cosd | 符号余弦函数，以度为单位 |
| cospi | 准确计算 cos(X*pi) |
| acos | 符号反余弦函数，以弧度为单位 |
| acosd | 符号反余弦函数，以度为单位 |
| cosh | 符号双曲余弦函数 |
| acosh | 符号反双曲余弦函数 |
| tan | 符号正切函数，以弧度为单位 |
| tand | 符号正切函数，以度为单位 |
| atan | 符号反正切函数，以弧度为单位 |
| atand | 符号反正切函数，以度为单位 |
| tanh | 符号双曲正切函数 |
| atanh | 符号反双曲正切函数 |
| csc | 符号余割函数，以弧度为单位 |
| cscd | 符号余割函数，以度为单位 |
| acsc | 符号反余割函数，以弧度为单位 |
| acscd | 符号反余割函数，以度为单位 |
| csch | 符号双曲余割函数 |
| acsch | 符号反双曲余割函数 |
| sec | 符号正割函数，以弧度为单位 |
| secd | 符号正割函数，以度为单位 |
| asec | 符号反正割函数，以弧度为单位 |
| asecd | 符号反正割函数，以度为单位 |
| sech | 符号双曲正割函数 |
| asech | 符号反双曲正割函数 |
| cot | 符号余切函数，以弧度为单位 |
| cotd | 符号余切函数，以度为单位 |
| acot | 符号反余切函数，以弧度为单位 |
| acotd | 符号反余切函数，以度为单位 |
| coth | 符号双曲余切函数 |
| acoth | 符号反双曲余切函数 |
| hypot | 平方和的平方根（斜边） |
| deg2rad | 将角从以度为单位转换为以弧度为单位 |
| rad2deg | 将角的单位从弧度转换为度 |
复数
gamma 函数
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| factorial | 符号输入的阶乘 |
| gamma | 伽马函数 |
| loggamma | 对数伽马函数 |
| digamma | digamma 函数（对数伽马函数的导数） |
| invdigamma | 逆 digamma 函数 |
| trigamma | trigamma 函数（对数伽马函数的二阶导数） |
| polygamma | polygamma 函数（对数伽马函数的多阶导数） |
| gamma_inc | 不完全伽马函数 |
| gamma_inc_inv | 逆不完全伽马函数 |
| binomial | 二项式系数 |
| sym_nchoosek | 二项式系数 |
| pochhammer | 波赫哈默符号 |
误差函数
airy和Bessel函数
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| airyai | 第一类 Airy 函数 |
| airybi | 第二类 Airy 函数 |
| besselh | 第三类 Bessel 函数（ Hankel 函数） |
| besselhx | 缩放后的第三类 Bessel 函数（ Hankel 函数） |
| besseli | 第一类修正 Bessel 函数 |
| besselix | 缩放后的第一类修正 Bessel 函数 |
| besselj | 第一类 Bessel 函数 |
| sphericalbesselj | 第一类球 Bessel 函数 |
| besselj0 | 第一类 0 阶 Bessel 函数 |
| besselj1 | 第一类 1 阶 Bessel 函数 |
| besseljx | 缩放后的第一类 Bessel 函数 |
| besselk | 第二类修正 Bessel 函数 |
| besselkx | 缩放后的第一类修正 Bessel 函数 |
| bessely | 第二类 Bessel 函数 |
| sphericalbessely | 第二类球 Bessel 函数 |
| bessely0 | 第二类 0 阶 Bessel 函数 |
| bessely1 | 第二类 1 阶 Bessel 函数 |
| besselyx | 缩放后的第二类 Bessel 函数 |
| jinc | 第一类 Bessel 函数除以 x |
beta 函数
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| beta | Beta 函数 |
| beta_inc | 不完全 Beta 函数 |
| beta_inc_inv | Beta 逆累积分布函数 |
| logabsbeta | Beta 函数绝对值的自然对数 |
| logbeta | 对数 Beta 函数 |
超几何与惠塔克函数
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| hypergeom | 超几何函数 |
| kummerU | 合流超几何 Kummer U 函数 |
| meijerG | 梅耶尔 G 函数 |
| whittakerM | 惠塔克 M 函数 |
| whittakerW | 惠塔克 W 函数 |
hankel 函数
其他特殊函数
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| dirac | 狄拉克-德尔塔函数 |
| lambertw | 朗博w函数 (又称欧米茄函数) |
| heaviside | 单位阶跃函数 |
| wrightOmega | Wright omega 函数 |
| legendre | 连带Legendre函数 |
| rectangularPulse | 矩形脉冲函数 |
| kroneckerDelta | 双对数函数 |
| triangularPulse | 三角脉冲函数 |
| dilog | 双对数函数 |
| polylog | 多对数函数 |
| zeta | 黎曼zeta函数 |
三角积分
椭圆积分
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| ellipj | Jacobi椭圆积分 |
| ellipke | 第一类和第二类完全椭圆积分 |
| Elliptic.E | 第二类完全和不完全椭圆积分 |
| Elliptic.F | 第一类不完全椭圆积分 |
| Elliptic.K | 第一类完全椭圆积分 |
| Elliptic.Pi | 第三类完全和不完全椭圆积分 |
| ellipticCE | 第二类互补完全椭圆积分 |
| ellipticCK | 第一类互补完全椭圆积分 |
| sym_ellipke | 第一类和第二类完全椭圆积分 |
| sym_ellipticCE | 第二类互补完全椭圆积分 |
| sym_ellipticCK | 第一类互补完全椭圆积分 |
| ellipticCPi | 第三类互补完全椭圆积分 |
| ellipticE | 第二类完全和不完全椭圆积分 |
| ellipticF | 第一类不完全椭圆积分 |
| ellipticK | 第一类完全椭圆积分 |
| ellipticNome | 椭圆模函数 |
| ellipticPi | 第三类完全和不完全椭圆积分 |
雅可比椭圆积分
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| Jacobi.cd | Jacobi CD 椭圆函数 |
| Jacobi.cn | Jacobi CN 椭圆函数 |
| Jacobi.cs | Jacobi CS 椭圆函数 |
| Jacobi.dc | Jacobi DC 椭圆函数 |
| Jacobi.dn | Jacobi DN 椭圆函数 |
| Jacobi.ds | Jacobi DS 椭圆函数 |
| Jacobi.nc | Jacobi NC 椭圆函数 |
| Jacobi.nd | Jacobi ND 椭圆函数 |
| Jacobi.ns | Jacobi NS 椭圆函数 |
| Jacobi.sc | Jacobi SC 椭圆函数 |
| Jacobi.sd | Jacobi SD 椭圆函数 |
| Jacobi.sn | Jacobi SN 椭圆函数 |
| Jacobi.am | 雅克比振幅函数 |
| jacobiZeta | Jacobi zeta 函数 |
# 数字与精度
可变精度算术和初等数论运算
# 数论
模块化算术运算和数字序列
初等变换
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| max | 输入参数的最大值 |
| min | 输入参数的最小值 |
| mod | 除后的余数（取模运算） |
| rem | 计算 x 除以 y 后的余数，商根据舍入模式 r 舍入 |
| powermod | 计算 |
| factorIntegerPower | 完美幂因数 |
| isPrimitiveRoot | 确定哪些数组元素是基元根 |
| quorem | 商和余数 |
| sym_gcd | 数与多项式的最大公约数 |
数论函数
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| eulerPhi | 欧拉 phi 函数 |
| legendrePhi | 勒让德符号 |
| jacobiSymbol | 雅可比符号 |
# 稀疏矩阵
初等稀疏矩阵，重排序算法，迭代法，稀疏线性代数
创建
| 函数名 | 简介 |
|---|---|
| spdiagm | 创建稀疏带状对角矩阵 |
| sparse | 创建稀疏矩阵 |
| sparsehessian | 稀疏矩阵的 Hessian 矩阵 |
| sparsejacobian | 标量函数的梯度向量 |