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2026a

# dsolve

解微分方程组

函数库: TySymbolicMath

# 语法

S = dsolve(eqn)

S = dsolve(eqn, cond)

S = dsolve(___; Name=Value)

# 说明

S = dsolve(eqn) 求解微分方程 eqn，其中 eqn 是一个符号方程。使用 Differential 和 ==（或者 ~ ）来表示微分方程。例如：@variables x y(x)，D = Differential(x)，eqn = D(y) == y 表示方程 。可以通过将 eqn 指定为这些方程的向量来求解微分方程组。示例

S = dsolve(eqn, cond) 使用初始条件或边界条件 cond 来求解微分方程 eqn。示例

S = dsolve(_; Name=Value) 指定具有一个或多个 Name=Value 参数的其他选项。您可以在任何上述语法中，将 Name=Value 参数添加在输入参数之后进行指定。示例

# 示例

求解微分方程

求解一阶微分方程：。

通过使用 Differential 指定一阶导数，通过使用 == 或 ~ 指定方程。然后，通过使用 dsolve 求解方程。

using TySymbolicMath
@variables t y(t) a
D = Differential(t)
eqn = D(y) == a * y
S = dsolve(eqn)

S = C1*exp(a*t)

下面用 ~ 来指定方程。

eqn = D(y) ~ a * y
S = dsolve(eqn)

S = C1*exp(a*t)
求解二阶微分方程

求解二阶微分方程：。

using TySymbolicMath
@variables t y(t) a
D = Differential(t)
eqn = (D^2)(y) == a * y
S = dsolve(eqn)

S = C1*exp(-t*sqrt(a)) + C2*exp(t*sqrt(a))
带条件求解微分方程

求解一阶微分方程： 并且初始条件为 。初始条件必须调用 substitute 函数来创建。

using TySymbolicMath
@variables t y(t) a
D = Differential(t)
eqn = D(y) == a * y
cond = substitute(y, t, 0) == 5
S = dsolve(eqn, cond)

S = 5exp(a*t)

注意

微分方程 eqn 和初始条件 cond 要么都用 == 运算符构建符号方程，要么都用 ~ 运算符构建符号方程。

接下来，求解二阶微分方程： 并且初始条件为 和 。

using TySymbolicMath
@variables t y(t) a b
D = Differential(t)
eqn = (D^2)(y) == a^2 * y
cond = [substitute(y, t, 0) == b, substitute(D(y), t, 0) == 1]
S = dsolve(eqn, cond)

S = ((1//2)*(1 + a*b)*exp(a*t)) / a + ((1//2)*(-1 + a*b)*exp(-a*t)) / a

这个二阶微分方程有两个指定的条件，因此解中常数被消除。通常，为了消除解中的常数，条件的数量必须等于方程的阶数。

求解微分方程组

求解微分方程组：，。

将方程组指定为一个向量。dsolve 返回一个包含解的元组。

using TySymbolicMath
@variables t y(t) z(t)
D = Differential(t)
eqn = [D(y) ~ z, D(z) ~ -y]
S = dsolve(eqn)

S = (y = C1*sin(t) + C2*cos(t), z = C1*cos(t) - C2*sin(t))

通过访问元组的元素来获取解。

S.y

ans = C1*sin(t) + C2*cos(t)

S.z

ans = C1*cos(t) - C2*sin(t)
求解微分方程的显式解和隐式解

求解微分方程：。

using TySymbolicMath
@variables t y(t)
D = Differential(t)
eqn = D(y) == y + exp(-y)
S = dsolve(eqn)

┌ Warning: 该微分方程无法求显示解，但存在常量解，此时结果只返回常量解，请令 Implicit=true 来同时返回解隐式解和常量解。

S = -0.31813150520476413 + 1.3372357014306895im

要返回微分方程的隐式解，将 Implicit 选项设置为 true。隐式解的形式为 。

S = dsolve(eqn; Implicit=true)

S = 2-element Vector{Num}:
 (-TySymbolicMath.Substitute(TySymbolicMath.Integrate(exp(y) / (1 + y*exp(y)), y), y, y(t))) == (C1 - t)
    0 == (y(t) + exp(-y(t)))
当未找到显式解时，求解隐式解

如果 dsolve 无法找到显式解，它将发出警告并返回 Num[]。在这种情况下，可以尝试使用 TyMath 工具箱的 ode23、ode45 等求解器找到数值解。

using TySymbolicMath
@variables x y(x)
D = Differential(x)
eqn = D(y) ~ (x - exp(-x)) / (y + exp(y))
S = dsolve(eqn)

┌ Warning: 该微分方程既无法求显示解，又没有常量解，请令 Implicit=true 来求解隐式解。

S = Num[]

另外，您可以通过将 Implicit 选项设置为 true 来尝试找到微分方程的隐式解。隐式解的形式为 。

S = dsolve(eqn; Implicit=true)

S = (-exp(-x) + exp(y(x)) - (1//2)*(x^2) + (1//2)*(y(x)^2)) == C1
为具有不同单侧极限的函数指定初始条件

求解微分方程：，无需指定初始条件。

using TySymbolicMath
@variables x y(x)
D = Differential(x)
eqn = D(y) == exp(-1 / x) / x^2
S = dsolve(eqn)

S = C1 + exp(-1 / x)

为了从通解中消除常数，指定初始条件 。

cond = substitute(y, x, 0) == 1
S1 = dsolve(eqn, cond)

ERROR: 该方程无法求解或输入的方程不符合要求。

通解 S 中的函数 在 处具有不同的单侧极限。该函数在右侧的极限为 ，但在左侧的极限是未定义的，即 。对于此种情况，dsolve 函数暂不支持求解。

# 输入参数

eqn - 微分方程或方程组
符号方程 | 符号表达式 | 符号向量

微分方程或方程组，指定为一个符号方程或符号表达式，它也能是由符号方程或符号表达式构成的符号向量。使用 == 或 ~ 运算符指定微分方程。如果 eqn 是一个符号表达式（没有右侧），dsolve 会假设右侧为 0，并求解方程 eqn == 0。

在方程中，使用 Differential 表示求导。例如，D = Differential(x)，D(y) 表示对符号函数 y(x) 关于 x 的求导。使用 @variables 创建符号函数 y(x)，然后使用 dsolve 求解方程 。

@variables x y(x)
D = Differential(x)
eqn = (D^2)(y) == x*y
S = dsolve(eqn)

注意

使用 @variables 创建符号函数时，需要先声明变量，再声明函数。例如，@variables x y(x)。

通过使用由方程构造的向量来指定一个微分方程组，例如：

@variables t y(t) z(t)
D = Differential(t)
eqn = [D(y) ~ z, D(z) ~ -y]
S = dsolve(eqn)

这里，y 和 z 必须是依赖于符号变量的符号函数，在本例中符号变量是 t。方程右侧必须是依赖于 t、y 和 z 的符号表达式。请注意，符号数学工具箱目前不支持复合符号函数，也就是说，不支持依赖于其他符号函数的符号函数。

cond - 初始或边界条件
符号方程 | 符号向量

初始或边界条件，指定为一个符号方程，它也能是由符号方程构成的符号向量。

注意

微分方程 eqn 和初始条件 cond 要么都用 == 运算符构建符号方程，要么都用 ~ 运算符构建符号方程。

初始或边界条件必须调用 substitute 函数来创建；当条件包含导数时，需要使用 Differential 表示导数。例如：以下式子表示 。

cond = [substitute(y, x, 0) ~ 0, substitute(D(y), x, 0) ~ 1]

通过使用方程的向量指定多个条件。如果条件的数量少于依赖变量的数量，解中将包含任意常数 C1、C2、..。

注意

对于初始条件使通解极限不存在的情况，dsolve 暂不支持。

# 关键字参数

指定可选的、以等号分隔的 Name,Value 对组参数。Name 为参数名称，Value 为对应的值。写法为Name = Value。您可采用任意顺序指定多个名称-值对组参数，如 Name1=Value1,...,NameN=ValueN 所示。

示例： dsolve(D(y) ~ (x - exp(-x)) / (y + exp(y)); Implicit=true)

Implicit - 是否返回隐式解
false（默认） | true

是否返回隐式解，指定为 false 或 true。对于一个以 和 为变量的微分方程，隐式解的形式为 。

默认情况下，dsolve 在求解微分方程时会尝试找到显式解 。如果 dsolve 无法找到显式解，则可以通过将关键字参数 Implicit 选项设置为 true 来尝试求解隐式形式的解。

数据类型： Bool

# 输出参数

S - 微分方程的解
符号方程 | 符号表达式 | 符号向量

微分方程的解，指定为一个符号方程或符号表达式（具体是看求显示解还是隐式解），它也能是由符号方程或符号表达式构成的符号向量。

数据类型： Num

# 提示

如果 dsolve 无法找到显式或隐式解，它将发出警告并返回 Num[]。在这种情况下，可以尝试使用 TyMath 工具箱的 ode23、ode45等求解器找到数值解。有时，输出可能是等价的低阶微分方程或积分形式。

# 另请参阅

isolate | linsolve | sym_linsolve | Differential | @variables | ode23 | ode45