# ifourier
傅里叶逆变换
函数库: TySymbolicMath
# 语法
# 说明
ifourier(F) 返回 F 的傅里叶逆变换。默认情况下，自变量为 w，变换变量为 x。 如果 F 不包含 w，ifourier 使用函数 symvar。示例
ifourier(F,transVar) 使用变换变量 transVar 而不是 x。示例
ifourier(F,var,transVar) 分别使用自变量 var 和变换变量 transVar 代替 w 和 x。示例
ifourier(___;Key=Value) 支持上述语法中的输入参量，且可使用一个或多个键-值对组参量指定傅里叶逆变换参数。
# 示例
符号表达式的傅里叶逆变换
计算
using TySymbolicMath
@variables w
F = exp(-w^2/4);
ifourier(F)
ans = 3.5449077018110318exp(-39.47841760435743(x^2))
默认自变量和转换变量
计算
using TySymbolicMath
@variables a w t
F = exp(-w^2-a^2);
ifourier(F)
ans = 1.7724538509055159exp(-(a^2) - 9.869604401089358(x^2))
将变换变量指定为 t。 如果仅指定一个变量，则该变量就是转换变量。 自变量仍然是 w。
ifourier(F,t)
ans = 1.7724538509055159exp(-(a^2) - 9.869604401089358(t^2))
涉及狄拉克和亥维赛函数的傅里叶逆变换
根据狄拉克和赫维赛德函数计算表达式的傅里叶逆变换。
using TySymbolicMath
@variables t w
ifourier(dirac(w), w, t)
ans = 1
f = 2*exp(-abs(w))-1;
ifourier(f,w,t)
ans = 4 / (1 + 39.47841760435743(t^2)) - 6.283185307179586TySymbolicMath.dirac(0, 6.283185307179586t)
数组输入的傅里叶逆变换
求矩阵 M 的傅里叶逆变换。使用相同大小的矩阵指定每个矩阵条目的自变量和变换变量。 当参数是非标量时，ifourier 按元素对它们进行操作。
using TySymbolicMath
@variables a b c d w x y z
M = [exp(x) 1; sin(y) im*z];
vars = [w x; y z];
transVars = [a b; c d];
ifourier.(M,vars,transVars)
ans = 2×2 Matrix{Number}:
6.28319dirac(0, 6.28319a)*exp(x) 6.28319dirac(0, 6.28319b)
InverseFourier(sin(y), y, c) im*InverseFourier(z, z, d)
如果使用标量和非标量参数调用 ifourier，则它会使用标量扩展来扩展标量以匹配非标量。 非标量参数必须具有相同的大小。
ifourier.(x,vars,transVars)
ans = 2×2 Matrix{Num}:
6.28319x*dirac(0, 6.28319a) InverseFourier(x, x, b)
6.28319x*dirac(0, 6.28319c) 6.28319x*dirac(0, 6.28319d)
如果找不到傅里叶逆变换
如果 ifourier 无法转换输入，则它会返回未评估的调用。
using TySymbolicMath
@variables w,F(w),t
ifourier(F,w,t)
ans = TySymbolicMath.InverseFourier(F(w), w, t)
# 输入参数
F - 输入Num
输入，指定为符号表达式、函数、向量或矩阵。
var - 自变量w（默认） | Num
自变量，指定为符号变量。 该变量通常称为“频率变量”。 如果不指定变量，则 ifourier 使用 w。 如果 F 不包含 w，则 ifourier 使用函数 symvar 来确定自变量。
transVar - 变换变量x（默认） | t | Num
变换变量，指定为符号变量、表达式、向量或矩阵。 它通常被称为“时间变量”或“空间变量”。 默认情况下，ifourier 使用 x。 如果 x 是 F 的自变量，则 ifourier 使用 t。
# 键-值参数
将可选的参数对组指定为 Key1=Value1,...,KeyN=ValueN，其中 Key 是参数名称，Value 是对应的值。名称-值参数必须出现在其他参数之后，但参数对组的顺序无关紧要。
c - 傅里叶逆变换参数实数标量
傅里叶逆变换参数之一，指定为实数标量，默认值为 1。有关详细信息请参见傅里叶逆变换。
s - 傅里叶逆变换参数实数标量
傅里叶逆变换参数之一，指定为实数标量，默认值为 -2pi。 有关详细信息请参见傅里叶逆变换。
# 详细信息
傅里叶逆变换
表达式
c 和 s 是傅里叶逆变换的参数。 逆傅里叶函数使用
# 提示
如果任何参数是数组，则 ifourier 对数组的所有元素按元素进行操作；
如果第一个参数包含符号函数，则第二个参数必须是标量；
如果 ifourier 无法找到傅里叶逆变换的显式表示，则它将返回傅里叶变换的结果；
要计算傅里叶变换，请使用 fourier。
# 参考文献
[1] Oberhettinger, F. "Tables of Fourier Transforms and Fourier Transforms of Distributions." Springer, 1990.