# gcdx
最大公因式与 Bézout 系数
函数库: TySymbolicMath
# 语法
(d, u, v) = gcdx(a, b)
# 说明
注意
现阶段 gcdx 函数仅能对属于 AbstractPolynomialLike 类型的符号变量进行操作，而不能对常用的 Num 或 Sym 类型符号变量操作。当您需要对多项式进行操作时，请尽量使用 @polyvar 或利用 polys、substitute 函数对符号表达式进行转换，转换为多项式表达式再对多项式表达式进行相关操作。
(d, u, v) = gcdx(a, b) 计算 a 和 b 的最大公（正）除数及其 Bézout 系数，即满足 ua+vb == d == gcd(a, b) 的整数系数 u 和 v。gcdx(a, b) 返回 (d, u, v)。 示例
# 示例
整数的最大公约数与 Bézout 系数
求整数的最大公约数及其 Bézout 系数。
using TySymbolicMath
gcdx(12, 42)
(6, -3, 1)
上例中，12 和 42 的最大公约数为 6，且 -3*12 + 1*42 = 6。
求 240 和 46 的最大公约数和 Bézout 系数。
gcdx(240, 46)
(2, -9, 47)
分数的最大公约数与 Bézout 系数
求分数的最大公约数及其 Bézout 系数。
using TySymbolicMath
gcdx(1//4,1//3)
(1//12, -1, 1)
上例中，1//4 和 1//3 的最大公约数为 1//12，且 1//3 * 1 + 1//4 * -1 = 1//12。
注意：对于非整数类型的(a,b)输入，只需要简单满足 ua+vb == d == gcd(a, b) 等式即可，因此 Bézout 系数具有多解。
注意：对于非整数类型的(a,b)输入，只需要简单满足 ua+vb == d == gcd(a, b) 等式即可，因此 Bézout 系数具有多解。
多项式的最大公约数与 Bézout 系数
找出以下多项式关于变量 x 的最大公约数和 Bézout 系数。
注意：gcdx 函数用于符号表达式时，输出参数的顺序有变化，即输出 (u, v, d) = gcdx(a, b) 使满足 a*u + b*v == d ，且 gcd(a,b) == c*d（c 为常数）。
using TySymbolicMath
@polyvar x
a = x^3 - 3*x^2 + 3*x - 1
b = x^2 - 5*x + 4
(u, v, d) = gcdx(a, b)
(-9 + 2x, 5x - 2x², 9 - 9x)
验证 a*u + b*v == d。
a*u + b*v == d
true
求解丢图番方程
解丢图番方程 30x + 56y = 8。
找到 30 和 56 的最大公约数和一对 Bézout 系数。
using TySymbolicMath
(d, u, v) = gcdx(30, 56)
(2, -13, 7)
u = -13 和 v = 7 满足 Bézout 的恒等式，(30*(-13)) + (56*7) = 2。
重写 Bézout 的恒等式，使其看起来更像原始方程。通过乘以 4 来完成此操作。使用 == 验证等式的两边是否相等。
u*30*4 + v*56*4 == 8
true
计算求解丢番图方程的 x 和 y 值。
x = u*4
y = v*4
x = -52
y = 28
# 输入参数
a - 输入整数 | 分数 | 符号变量 | 符号表达式 | 符号函数
输入，指定为整数、分数、符号变量、表达式或函数。符号输入必须为 AbstractPolynomialLike 类型。
b - 输入整数 | 分数 | 符号变量 | 符号表达式 | 符号函数
输入，指定为整数、分数、符号变量、表达式或函数。符号输入必须为 AbstractPolynomialLike 类型。
# 输出参数
d - 最大公因式整数 | 分数 | 符号变量 | 符号表达式 | 符号函数
最大公因式，返回为整数、分数、符号变量、表达式或函数。
u - Bézout 系数整数 | 分数 | 符号变量 | 符号表达式 | 符号函数
Bézout 系数，返回为整数、分数、符号变量、表达式或函数，满足 u*a + v*b == d == gcd(a, b)。
v - Bézout 系数整数 | 分数 | 符号变量 | 符号表达式 | 符号函数
Bézout 系数，返回为整数、分数、符号变量、表达式或函数，满足 u*a + v*b == d == gcd(a, b)。
# 提示
- Bézout 系数不是唯一定义的。gcdx 返回由扩展欧几里得算法计算的最小 Bézout 系数。对于有符号整数，这些系数 u 和 v 在 |u| < |y/d| 和 |v| < |x/d| 的意义上是最小的。此外，选择 u 和 v 的符号以使 d 为正。对于无符号整数，系数 u 和 v 可能接近它们的 typemax，然后其性质只能通过无符号整数的模运算保持。