2026a

# 几何分布

# 概述

几何分布是一个单参数曲线族，它对一系列独立试验中一次成功之前的失败次数进行建模，其中每次试验都会导致成功或失败，并且任何单个试验的成功概率都是恒定的。例如，如果您掷硬币，几何分布会模拟在结果为正面之前观察到的反面数量。几何分布是离散的，仅存在于非负整数上。

Syslab 提供了多种处理几何分布的方法。

使用具有指定分布参数的分布特定函数（geocdf、geopdf、geoinv、geostat、geornd）。特定于分布的函数可以接受多个几何分布的参数。

使用具有指定分布名称（"Geometric"）和参数的通用分布函数（cdf、quantile、pdf、random）。

几何分布使用以下参数。

参数	描述	范围
p	成功概率	[0,1]

几何分布的概率密度函数 (pdf) 为

其中 p 是成功的概率，x 是第一次成功之前的失败次数。当任何给定试验的成功概率为 p 时，结果 y 是在成功之前恰好观察 x 次试验的概率。对于离散分布，pdf 也称为概率质量函数 (pmf)。

有关示例，请参阅计算几何分布pdf。

几何分布的累积分布函数（cdf）为

其中 p 是成功的概率，x 是第一次成功之前的失败次数。当任何给定试验的成功概率为 p 时，结果 y 是在成功之前最多观察 x 次试验的概率。

有关示例，请参阅计算几何分布cdf。

几何分布的平均值 ,几何分布的方差 ,其中 p 是成功的概率。

危险函数（瞬时故障率）是 pdf 与 cdf 的补数之比。如果和分别是分布的 pdf 和 cdf，则危险率为。将几何分布的 pdf 和 cdf 代入上述和会得到一个等于平均值倒数的常数。几何分布是唯一具有恒定风险函数的离散分布。因此，观察到成功的概率与已经观察到的失败次数无关。

计算几何分布pdf

计算成功概率为 0.25 的几何分布的 pdf。

using TyPlot
using TyStatistics
x = 0:20;
y = geopdf.(x,0.25);

用宽度为 1 的条形绘制 pdf。

figure()
bar(x,y,width=1)
xlabel("Observation")
ylabel("Probability")

计算几何分布cdf

计算成功概率为 0.25 的几何分布的 cdf。

using TyPlot
using TyStatistics
x = 0:20;
y = geocdf.(x,0.25);

绘制cdf图象

figure()
stairs(x,y)
xlabel("Observation")
ylabel("Cumulative Probability")

计算几何分布概率

假设一个使用了五年的汽车电池在寒冷天气下不启动的概率是 0.03。在持续 25 天的寒冷天气中，司机每天早上都试图启动汽车。使用几何分布对该场景进行建模，其中要观察的事件是汽车未启动。

计算 25 的 cdf 以找出汽车在 25 天之一内未启动的概率。

using TyStatistics
x = 25;
p = 0.03;
notstart = geocdf(x,p)

notstart = 0.5470345359032596

计算补数，找出汽车在所有 25 天内每天启动的概率。

start = 1 - notstart

start = 0.45296546409674043

指数分布 - 指数分布是具有参数 μ（均值）的单参数连续分布。指数分布是几何的连续模拟，是除几何之外唯一具有恒定危险函数的分布。

负二项分布 - 负二项分布是具有参数 r 和 p 的双参数离散分布，它模拟在 r 成功之前观察到的失败次数，在单次试验中成功概率为 p。几何分布以 r = 1 的负二项分布出现。