2026a

# Gamma 分布

# 概述

伽马分布是一个包含两个参数的曲线族。伽马分布对指数分布的随机变量的总和进行建模，并概括卡方分布和指数分布。

统计工具箱提供了几种使用伽马分布的方法。

指定参数值用 (Gamma) 来创建概率分布对象 GammaDistribution。然后，使用对象函数来评估分布、生成随机数等。
使用具有指定分布参数的分布特定函数（gamcdf、gampdf、gaminv、gamlike、gamstat、gamfit、gamrnd）。特定于分布的函数可以接受多个伽马分布的参数。
使用具有指定分布名称 ("Gamma") 和参数的通用分布函数（cdf、pdf、random)。

# 参数

伽玛分布使用以下参数。

参数	说明	范围
	形状参数
	比例参数

标准伽马分布具有单位尺度。

形状参数为和的两个 gamma 随机变量的和都具有尺度参数 $\theta&，是一个 gamma 随机变量，其形状参数为，尺度参数为 $\theta&。

# 参数估计

似然函数是被视为参数函数的概率密度函数 (pdf)。最大似然估计 (MLE) 是使 x 的固定值的似然函数最大化的参数估计。

伽马分布的和的最大似然估计量是联立方程组的解

其中是样本 $、、、$ 的样本均值，Ψ 是digamma 函数 psi。

要将 gamma 分布拟合到数据并找到参数估计值，请使用 gamfit、fitdist 或 mle。

有关示例，请参阅将 Gamma 分布拟合到数据。

# 概率密度函数

伽马分布的 pdf 是

其中 Γ( · ) 是 Gamma 函数。

有关示例，请参阅计算 Gamma 分布 pdf。

# 累积分布函数

伽马分布的累积分布函数 (cdf) 为

结果 p 是来自带有参数和的 gamma 分布的单个观测值落在区间 [0,x] 内的概率。

有关示例，请参阅计算 Gamma 分布 cdf。

gamma cdf 与不完全 gamma 函数 gammainc 的关系为

# 逆累积分布函数

就 gamma cdf 而言，gamma 分布的逆累积分布函数为

其中

结果 x 是这样的值，即来自带有参数和的 gamma 分布的观测值以概率 p 落在范围 [0,x] 内。

前面的积分方程没有已知的解析解。 gaminv 使用迭代方法（牛顿法）来收敛解决方案。

# 描述性统计

伽马分布的平均值是。

伽马分布的方差为。

# 示例

# 将 Gamma 分布拟合到数据

生成一个包含 100 个 gamma 随机数的样本，形状为 3，比例为 5。

using TyStatistics
x = gamrnd(3,5,100,1);

使用分布函数估计参数和。

muhat,muci = gamfit(x)

muhat = 1×2 Matrix{Float64}:
 4.88231  3.1862

muci = 2×2 Matrix{Float64}:
 3.73359  2.40199
 6.38445  4.22644

# 计算 Gamma 分布 pdf

使用多个形状和尺度参数计算 gamma 分布的 pdf。

using TyPlot
using TyStatistics
x = 0:0.1:50;
y1 = gampdf.(x,1,10);
y2 = gampdf.(x,3,5);
y3 = gampdf.(x,6,4);

绘制 pdf。

figure();
plot(x,y1)
hold("on")
plot(x,y2)
plot(x,y3)
hold("off")
xlabel("Observation")
ylabel("Probability Density")
legend([raw"α= 1, θ = 10",raw"α= 3, θ = 5",raw"α= 6, θ = 4"])

# 计算 Gamma 分布 cdf

使用多个形状和尺度参数计算伽马分布的 cdf。

using TyPlot
using TyStatistics
x = 0:0.1:50;
y1 = gamcdf(x,1,10);
y2 = gamcdf(x,3,5);
y3 = gamcdf(x,6,4);

绘制 cdf。

figure();
plot(x,y1)
hold("on")
plot(x,y2)
plot(x,y3)
hold("off")
xlabel("Observation")
ylabel("Cumulative Probability")
legend([raw"α= 1, θ = 10",raw"α= 3, θ = 5",raw"α= 6, θ = 4"],loc="northwest")

# 比较 Gamma 和正态分布 pdf

伽马分布具有形状参数和尺度参数。对于较大的，伽马分布非常接近均值和方差的正态分布。

计算参数和的 gamma 分布的 pdf。

using TyPlot
using TyStatistics
a = 100;
b = 5;
x = 250:750;
y_gam = gampdf.(x,a,b);

为了比较，计算 gamma 近似的正态分布的均值、标准差和 pdf。

mu = a*b

mu = 500

sigma = sqrt(a*b^2)

sigma = 50

y_norm = normpdf.(x,mu,sigma);

在同一个图上绘制 gamma 分布和正态分布的 pdf。

plot(x,y_gam,"-",x,y_norm,"-.")
title("Gamma and Normal pdfs")
xlabel("Observation")
ylabel("Probability Density")
legend(["Gamma Distribution","Normal Distribution"])

正态分布的 pdf 近似于伽马分布的 pdf。

# 另请参阅