# gamcdf
Gamma 累积分布函数
函数库: TyStatistics
# 语法
p = gamcdf(x,a)
p = gamcdf(x,a,b)
p,pLo,pUp = gamcdf(x,a,b,pCov)
p,pLo,pUp = gamcdf(x,a,b,pCov,alpha)
___ = gamcdf(___;tail="upper")
# 说明
p=gamcdf(x,a,) 返回标准 gamma 分布的累积分布函数 (cdf)，形状参数在 a 中，以 x 中的值进行计算。
p=gamcdf(x,a,b) 返回伽马分布的 cdf，形状参数在 a 中，比例参数在 b 中，以 x 中的值进行计算。示例
p,pLo,pUp = gamcdf(x,a,b,pCov) 当 a 和 b 是估计值时，还返回 p 的 95% 置信区间 [pLo pUp] 。pCov 为估计参数的协方差矩阵。示例
p,pLo,pUp = gamcdf(x,a,b,pCov,alpha) 指定置信区间 [pLo pUp] 的置信水平为 100(1-alpha)% 。
___ = gamcdf(___;tail="upper") 返回对 x 中的值求值的 cdf 的补集，该算法比从 1 中减去下尾值更准确地计算上尾极端概率。"upper" 可以跟在前面语法中的任何输入参数组合后面。示例
# 示例
计算伽玛分布累积分布函数
计算伽马分布平均值的 cdf，该值等于参数 ab 的乘积。
using TyStatistics
a = [1:6;]
b = [5:10;]
prob = gamcdf.(a .* b, a, b)
prob = 6-element Vector{Float64}:
0.6321205588285577
0.5939941502901619
0.5768099188731565
0.5665298796332912
0.5595067149347877
0.5543203586353886
随着 ab 的增加，分布变得更加对称，平均值接近中值。
Gamma cdf 值的置信区间
生成 1000 个具有形状 2 和尺度 5 的伽马分布随机数样本。
using TyStatistics
using TyMath
rng = MT19937ar(5489)
x = gamrnd(rng,2,5,1000,1);
计算参数的估计值。
params, = gamfit(x)
params
1×2 Matrix{Float64}:
2.10893 4.81474
将参数存储为 ahat 和 bhat。
ahat = params[1];
bhat = params[2];
找出参数估计值的协方差。
_,nCov = gamlike(params,x)
nCov = 2×2 Matrix{Float64}:
0.00772258 -0.0176308
-0.0176308 0.0512436
创建一个置信区间来估计观测值在区间 [0, 10] 中的概率。
prob,pLo,pUp = gamcdf(10,ahat,bhat,nCov)
prob = 0.583039755013539
pLo = 0.5587410678352404
pUp = 0.6069416722305647
互补 cdf（尾分布）
using TyStatistics
p1 = 1 - gamcdf(150,2,3)
p1 = 0.0
Gamcdf（150,2,3）接近于 1，所以 p1 等于 0。指定 "upper" 以便 gamcdf 更准确地计算极端上尾概率。
p2 = gamcdf(150,2,3,"upper")
p2 = 9.836624224615988e-21
# 输入参数
x-计算 cdf 的值
非负标量值 | 非负标量值数组
计算 cdf 的值，指定为非负标量值或非负标量值数组。
要以多个值计算 cdf，请使用数组指定 x
要计算多个分布的 cdf，请使用数组指定 a 和 b
如果一个或多个输入参数 x、a 和 b 是数组，则数组大小必须相同。在这种情况下，gamcdf 将每个标量输入扩展为与数组输入大小相同的常量数组。p 中的每个元素是由 a 和 b 中的相应元素指定的分布的 cdf 值，在 x 中的相应元素处进行计算。
示例： [3 4 7 9]
数据类型： Float32 |Float64 |Int8 |Int16 |Int32 |Int64 |Int128 |UInt8 |UInt16 |UInt32 |UInt64 |UInt128
a-形状参数
正标量值 | 正标量值数组
伽马分布的形状参数，指定为正标量值或正标量值数组。
要以多个值计算 cdf，请使用数组指定 x
要评估多个分布的 cdf，请使用数组指定 a 和 b
如果一个或多个输入参数 x、a 和 b 是数组，则数组大小必须相同。在这种情况下，gamcdf 将每个标量输入扩展为与数组输入大小相同的常量数组。p 中的每个元素是由 a 和 b 中的相应元素指定的分布的 cdf 值，在 x 中的相应元素处进行计算。
示例： [1 2 3 5]
数据类型： Float32 |Float64 |Int8 |Int16 |Int32 |Int64 |Int128 |UInt8 |UInt16 |UInt32 |UInt64 |UInt128
b-比例参数
1（默认值）| 正标量值 | 正标量值数组
伽马分布的比例参数，指定为正标量值或正标量值数组。
要以多个值计算 cdf，请使用数组指定 x
要评估多个分布的 cdf，请使用数组指定 a 和 b
如果一个或多个输入参数 x、a 和 b 是数组，则数组大小必须相同。在这种情况下，gamcdf 将每个标量输入扩展为与数组输入大小相同的常量数组。p 中的每个元素是由 a 和 b 中的相应元素指定的分布的 cdf 值，在 x 中的相应元素处进行计算。
示例： [1 1 2 2]
数据类型： Float32 |Float64 |Int8 |Int16 |Int32 |Int64 |Int128 |UInt8 |UInt16 |UInt32 |UInt64 |UInt128
pCov-估计
2 x 2 的数值矩阵
估计 a 和 b 的协方差，用 2 × 2 矩阵表示。如果指定 pCov 来计算置信区间 [pLo，pUp]，则 x、a 和 b 必须是标量值。你可以用 gamfit 或 mle 来估计 a 和 b ，用 gamlike 来估计 a 和 b 的协方差。
数据类型： Float32 |Float64
alpha-显著性水平
0.05 （默认） | 介于 0 和 1 之间的数字
置信区间的显著性水平，在（0,1）范围内以标量指定。置信水平为 100(1-alpha)% ，其中 alpha 是置信区间不包含真实值的概率。
示例： 0.01
数据类型： Float32 |Float64
tail-尾概率
"lower"（默认）| "upper"
是否返回对 x 中的值求值的 cdf 的补集，默认不返回。
数据类型： String
# 输出参数
p-cdf 值 标量 | 数值数组
cdf 值在 x 中的值处求值，作为标量值或标量值数组返回。在任何必要的标量展开之后，p 与 x、a 和 b 的大小相同。p 中的每个元素是由 a 和 b 中的相应元素指定的分布的 cdf 值，在 x 中的相应元素处进行计算。
pLo-置信下界 标量 | 数值数组
p 的较低置信度界限，作为标量值或标量值数组返回。pLo 和 p 的大小相同。
pUp-置信上界 标量 | 数值数组
p 的较高置信度界限，作为标量值或标量值数组返回。pUp 和 p 的大小相同。
# 关于更多
Gamma cdf
伽玛分布（Gamma distribution）是一个双参数曲线族，其参数 a 和 b 分别表示 形状（shape） 和 尺度（scale）。
cdf 表示为：
结果 p 表示从一个参数为 a 和 b 的伽玛分布中，单次观测值落在区间 [0, x] 内的概率。伽玛分布的累积分布函数（CDF）与不完全伽玛函数（incomplete gamma function） gammainc 的关系如下：
标准伽玛分布在尺度参数 b=1 时成立，此时其累积分布函数（CDF）精确对应不完全伽玛函数。