# xcov

互协方差

函数库: TyStatistics

# 语法

c, = xcov(x,y)

c, = xcov(x)

c, = xcov(___;maxlag=nothing)

c, = xcov(___;scale=nothing)

c,lags = xcov(___)

# 说明

c, = xcov(x,y)返回两个离散时间序列的互协方差。互协方差测量向量 x 和移位（滞后）副本向量 y 的之间的相似性，形式为滞后的函数。如果 x 和 y 的长度不同，函数会在较短向量的末尾添加零，使其长度与另一个向量相同。示例

c, = xcov(x) 返回 x 的自协方差序列。如果 x 是矩阵，则 c 是矩阵，其列包含 x 所有列组合的自协方差和互协方差序列。示例

c, = xcov(___;maxlag=nothing) 将上述任一语法中的滞后范围限制为从 -maxlag 到 maxlag。示例

c, = xcov(___;scale=nothing) 还为互协方差或自协方差指定归一化选项。除 nothing（默认值）以外的任何选项都要求 x 和 y 具有相同的长度。示例

c,lags = xcov(___) 还返回用于计算协方差的滞后。示例

# 示例

两个随机向量的互协方差

创建一个由随机数组成的向量 x 和一个向量 y，后者是 x 右移 3 个元素的结果。计算并绘制 x 和 y 的估计互协方差。在 x 和 y 的元素完全匹配的滞后值 (-3) 处，出现最大峰值。

using TyPlot
using TyMath
using TyStatistics
rng=mt19937ar(5489);
x = rand(rng,20,1);
y = circshift(x,3);
c,lags = xcov(x,y);
stem(lags,c)

随机向量的自协方差

创建一个 20×1 随机向量，然后计算并绘制估计的自协方差。在零滞后时（此时向量与自身完全相等），出现最大峰值。

using TyPlot
using TyMath
using TyStatistics
rng=mt19937ar(5489);
x = rand(rng,20,1);
c,lags = xcov(x);
stem(lags,c)

噪声的归一化自协方差

计算并绘制 −10≤m≤10 时高斯白噪声的估计的自协方差 c(m)。将序列归一化，使其在零滞后时为单位 1。

using TyPlot
using TyMath
using TyStatistics
rng=mt19937ar(5489);
x = randn(rng,1000,1);
maxlag = 10;
c,lags = xcov(x,maxlag=maxlag,scale="normalized");
stem(lags,c)

两个移位信号的有偏互协方差

创建一个由两个信号组成的信号，这两个信号彼此循环移位 50 个样本。

using TyPlot
using TyMath
using TyStatistics
rng=mt19937ar(5489);
shft = 50;
s1 = rand(rng,150,1);
s2 = circshift(s1,[shft 0]);
x = [s1 s2];

计算并绘制自协方差和互协方差序列的有偏估计。输出矩阵 c 的形式为四个列向量，满足。由于循环移位，在 -50 和 +100 处有最大值，在 +50 和 -100 处有最大值。

c, lags = xcov(x; scale="biased")
plot(lags, c)
legend([raw"$cₛ₁ₛ₁$", raw"$cₛ₁ₛ₂$", raw"$cₛ₂ₛ₁$", raw"$cₛ₂ₛ₂$"])

# 输入参数

x — 输入数组

向量 | 矩阵 | 多维数组

输入数组，指定为向量、矩阵或多维数组。如果 x 是多维数组，则 xcov 对所有维度按列操作，并将每个自协方差和互协方差作为矩阵的列返回。

复数支持： 是

y — 输入数组

向量 | 矩阵 | 多维数组

输入数组，指定为向量、矩阵或多维数组。

复数支持： 是

maxlag — 最大滞后

整数标量

最大滞后，指定为整数标量。如果您指定 maxlag，则返回的互协方差序列范围是从 -maxlag 到 maxlag。默认情况下，滞后范围等于 2N–1，其中 N 是输入 x 和 y 中较长一方的长度。

scale — 归一化选项

nothing （默认） | "biased" | "unbiased" | "normalized" | "coeff"

归一化选项，指定为下列各项之一。

nothing - 原始、未缩放的互协方差。当 x 和 y 长度不同时，'none' 是唯一有效的选项。
"biased" - 互协方差的有偏估计：

"unbiased" - 互协方差的无偏估计：

"normalized" 或 "coeff" - 对序列进行归一化，使零滞后时的互协方差等于 1：

# 输出参数

c — 互协方差或自协方差

向量 | 矩阵

互协方差或自协方差，以向量或矩阵形式返回。

如果 x 是 M × N 矩阵，则先从 xcov(x) 返回矩阵，其中包含 x 各列的自相关和互相关。如果您指定 [maxlag]，则 r 的大小为。

例如，如果 S 有三列，,则 C = xcov(S) 的结果的形式为

lags — 滞后索引

向量

滞后索引，以向量形式返回。

# 详细信息

互协方差和自协方差

xcov 计算其输入的均值，减去均值，然后调用 xcorr。

xcov 的结果可以解释为两个随机序列之间的协方差估计，也可以解释为两个确定性信号之间的确定性协方差。

两个联合平稳随机过程和的真正互协方差序列是去除均值后的序列的互相关，

其中和是两个平稳随机过程的均值，星号表示复共轭，E 是期望值运算符。xcov 只能估计序列，因为实际上，在无限长随机过程的一个实现中只有有限的部分可用。

默认情况下，xcov 计算未经归一化的原始协方差：

输出向量 c 包含的元素由下式给出：

协方差函数需要归一化来正确估计函数。您可以通过使用输入参数 scale 来控制相关性的归一化。

# 另请参阅

conv | corrcoef | ty_cov | xcorr