2026a
# cholupdate
Cholesky 分解的秩 1 更新
函数库: TyMath
# 语法
R1 = cholupdate(R,x,update=true)
# 说明
R1 = cholupdate(R,x,update=true)（其中 R = cholesky(A) 是 A 的原始 Cholesky 分解），update 默认为 true。当 update 指定为 true 时，返回 A + x*x' 的上三角 Cholesky 因子，其中 x 是具有合适长度的一个列向量。cholupdate 仅使用 R 的对角线和上三角。R 的下三角将被忽略。如果 update 指定为 false，则返回 A - x*x' 的 Cholesky 因子。示例
# 示例
Cholesky 分解的秩 1 更新
using TyMath
A = pascal(4)
A = 4×4 Matrix{Int64}:
1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6 10
1 4 10 20
R = cholesky(A).U
x = [0,0,0,1]
R = 4×4 UpperTriangular{Float64, Matrix{Float64}}:
1.0 1.0 1.0 1.0
⋅ 1.0 2.0 3.0
⋅ ⋅ 1.0 3.0
⋅ ⋅ ⋅ 1.0
x = 4-element Vector{Int64}:
0
0
0
1
这称为对 A 的秩为一的更新，因为 rank(x*x') 为 1：
A + x*x'
ans = 4×4 Matrix{Int64}:
1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6 10
1 4 10 21
不使用 R1 = cholesky(A + x*x') 计算 Cholesky 因子，可以使用 cholupdate：
R1 = cholupdate(R,x)
R1 = 4×4 UpperTriangular{Float64, Matrix{Float64}}:
1.0 1.0 1.0 1.0
⋅ 1.0 2.0 3.0
⋅ ⋅ 1.0 3.0
⋅ ⋅ ⋅ 1.41421
接下来，通过从 A 的最后一个元素中减去 1 来破坏正定性（并且实际上将矩阵设置为奇异矩阵）。旧矩阵为：
A - x*x'
ans = 4×4 Matrix{Int64}:
1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6 10
1 4 10 19
将 cholesky 与 cholupdate 进行比较：
R1 = cholesky(A-x*x')
PosDefException: matrix is not positive definite; Cholesky factorization failed.
R1 = cholupdate(R,x,false)
ans = 4×4 UpperTriangular{Float64, Matrix{Float64}}:
1.0 1.0 1.0 1.0
⋅ 1.0 2.0 3.0
⋅ ⋅ 1.0 3.0
⋅ ⋅ ⋅ 0.0
但是，将 0.5 从 A 的最后一个元素中减去将生成一个正定矩阵，可以使用 cholupdate 计算其 Cholesky 因子：
x = [0,0,0,1/sqrt(2)]
R1 = cholupdate(R,x,false)
R1 = 4×4 UpperTriangular{Float64, Matrix{Float64}}:
1.0 1.0 1.0 1.0
⋅ 1.0 2.0 3.0
⋅ ⋅ 1.0 3.0
⋅ ⋅ ⋅ 0.707107
# 提示
cholupdate 仅适用于满秩矩阵。