# inv
矩阵求逆
函数库: TyMath
# 语法
Y = inv(X)
# 说明
- X^(-1) 等效于 inv(X)；
- x = A\b 的计算方式与 x = inv(A)*b 不同，建议用于求解线性方程组。
# 示例
逆矩阵
计算一个 3×3 矩阵的逆矩阵。
using TyMath
X = [1 0 2; -1 5 0; 0 3 -9]
X = 3×3 Matrix{Int64}:
1 0 2
-1 5 0
0 3 -9
Y = inv(X)
Y = 3×3 Matrix{Float64}:
0.882353 -0.117647 0.196078
0.176471 0.176471 0.0392157
0.0588235 0.0588235 -0.0980392
检查结果。理想情况下，Y*X 将生成单位矩阵。由于 inv 使用浮点计算执行矩阵求逆，因此，实际上 Y*X 接近但不完全等于单位矩阵 eye(size(X))。
Y*X
ans = 3×3 Matrix{Float64}
1.0 0.0 -2.22045e-16
0.0 1.0 -5.55112e-17
0.0 0.0 1.0
线性方程组求解
了解为何通过使用 inv(A)*b 求逆矩阵对线性方程组求解不如使用反斜杠运算符（即 x = A\b）直接求解。
创建一个 500 阶的随机矩阵 A，其条件数 cond(A) 为 1e10，并且其范数 opnorm(A) 为 1。精确解 x 是一个长度为 500 的随机向量，并且右侧为 b = A*x。因此，线性方程组未正确设置条件但一致。
using TyMath
using TyBase
n = 500
Q = orth(randn(n,n))
d = logspace(0,-10,n)
A = Q*diagm(d)*Q'
x = randn(n,1)
b = A*x
通过反转系数矩阵 A 对线性方程组 A*x = b 求解。使用@time获取时间等信息。
@time y = inv(A)*b;
0.151880 seconds (443.98 k allocations: 27.503 MiB, 16.89% gc time, 92.08% compilation time)
求计算的绝对误差和残差。
err_inv = norm(y-x)
err_inv = 2.7399366581830265e-6
res_inv = norm(A*y-b)
res_inv = 2.2689752332406378e-7
现在，使用反斜杠运算符 \ 对同一个线性系统求解。
@time z = A\b;
0.040317 seconds (4 allocations: 1.915 MiB)
err_bs = norm(z-x)
err_bs = 2.319273592366519e-6
res_bs = norm(A*z-b)
res_bs = 1.8711612283282207e-15
反斜杠计算方法速度更快，而且残差减少了几个数量级。err_inv 和 err_bs 均为 1e-6 的阶数这个事实直接反映了矩阵的条件数。
此示例的行为非常常见。使用 A\b（而非 inv(A)*b）的速度要快两至三倍，并且会基于计算机准确度生成残差（相对于数据量值而言）。
# 输入参数
X - 输入矩阵方阵
指定为方阵。如果 X 未正确缩放或接近奇异矩阵，inv 计算的数值将不准确。使用 rcond 或 cond 检查矩阵的条件数。
数据类型： Float16 | Float32 | Float64 | Int8 | Int16 | Int32 | Int64 | Int128 | Complex
复数支持： 是
# 详细信息
矩阵求逆
对于矩阵 X，如果存在一个具有相同大小的矩阵 Y 以便
没有逆矩阵的矩阵是奇异矩阵。对于方阵，仅当其行列式恰好为零时，它才是奇异矩阵。
# 提示
很少需要为某个矩阵构造显式逆矩阵。当解算线性方程组 Ax = b 时，往往会错误使用 inv。对该方程求解的方法之一是使用 x = inv(A)*b。从执行时间和数值准确性方面而言，一种更好的方法是使用矩阵反斜杠运算符，即 x = A\b。这会使用高斯消去法求解，而不必显式构造逆矩阵。
# 算法
inv 执行输入矩阵的 LU 分解（如果输入矩阵是 Hermitian 矩阵，则执行 LDL 分解）。然后它使用结果来形成线性方程组，其解为矩阵求逆 inv(X)。对于稀疏输入，inv(X) 将创建稀疏单位矩阵并使用反斜杠，即 X\speye(size(X))。