# balance
对角线缩放以提高特征值准确性
函数库: TyMath
# 语法
B, T, S, P = balance(A)
B, T, S, P = balance(A,noperm)
# 说明
B, T, S, P = balance(A) 返回相似变换矩阵 T 、平衡矩阵 B，以使 B = T\A*T 和 B 具有尽可能接近的、近似相等的行列范数，以及缩放向量 S 和置换向量 P。这四者有关系 T[:,P] = diag(S) 和 B(P,P) = diag(1./S)*A*diag(S) 。T 是对角矩阵的置换矩阵，其元素是 2 的整数次幂，可防止引入舍入误差。如果 A 是对称的，则 B == A 和 T 是单位矩阵。示例
B, T, S, P = balance(A,noperm) 指定非置换指标，若该值为 true 则缩放 A，而不会置换其行和列。
# 示例
矩阵对角线缩放以提高特征值准确性
此示例说明基本思路。矩阵 A 右上角的元素较大，左下角的元素较小。该矩阵非常不对称。
using TyMath
A = [1 100 10000;.01 1 100;.0001 .01 1]
A = 3×3 Matrix{Float64}:
1.0 100.0 10000.0
0.01 1.0 100.0
0.0001 0.01 1.0
平衡处理会生成一个对角矩阵 T（包含是 2 的幂的元素）和一个平衡矩阵 B（比 A 更对称）。
B,T, = balance(A)
B = 3×3 Matrix{Float64}:
1.0 1.5625 1.2207
0.64 1.0 0.78125
0.8192 1.28 1.0
T = 3×3 Matrix{Float64}:
512.0 0.0 0.0
0.0 8.0 0.0
0.0 0.0 0.0625
要查看特征向量的作用，请先计算 A 的特征向量，如此处的 V 的列所示。
V = eigen(A).vectors
V = 3×3 Matrix{ComplexF64}:
-0.999902-0.0im -0.999902+0.0im 0.99995+0.0im
0.00779085-0.0116044im 0.00779085+0.0116044im 0.0099995+0.0im
2.20818e-5+0.000116044im 2.20818e-5-0.000116044im 9.9995e-5+0.0im
请注意，所有三个向量的第一个分量都是最大的。这说明 V 的条件不当；实际上 cond(V) 为 9442.981991064049。然后，查看 B 的特征向量。
V = eigen(B).vectors
V = 3×3 Matrix{ComplexF64}:
-0.604457-0.0im -0.604457+0.0im 0.69326+0.0im
0.30142-0.448964im 0.30142+0.448964im 0.443687+0.0im
0.109353+0.574674im 0.109353-0.574674im 0.567919+0.0im
现在，特征向量将正常运行，并且 cond(V) 为 1.4830478466951924。条件不当数在缩放矩阵中进行了压缩；cond(T) 为 8192.0。
本示例较小且并未进行大幅缩放，因此，计算的 A 和 B 的特征值在舍入误差界限内一致；平衡几乎不会对计算结果产生任何影响。
# 输入参数
A - 输入矩阵矩阵
输入矩阵。A 不可以是稀疏矩阵。
数据类型： Float | Int
复数支持： 是
noperm - 置换指标ture (默认) |false
置换指标，若该值为 true 则缩放 A，而不会置换其行和列。
数据类型： Bool
# 输出参数
B - 平衡矩阵 矩阵
平衡矩阵 B 。
数据类型： Float | Int
T - 相似变换矩阵矩阵
相似变换矩阵,其元素是 2 的整数次幂。
数据类型： Float | Int
S - 缩放向量向量
缩放向量。
数据类型： Float | Int
P - 置换向量向量
置换向量，当 noperm=false 时有效。
数据类型： Int
# 局限性
平衡可能会破坏某些矩阵的属性；请谨慎使用。如果矩阵含有由于舍入误差产生的小元素，平衡可能对其放大，使其与原矩阵中的其他元素一样有效。
# 提示
非对称矩阵可包含条件不当的特征值。矩阵中的细微扰动（例如，舍入误差）可导致特征值发生巨大扰动。特征向量矩阵的条件数，
cond(V) = norm(V)*norm(inv(V))
其中
V = eigen(A).vectors
将矩阵扰动大小与特征值扰动大小相关联。请注意，A 自身的条件数与特征值问题不相关。
平衡是尝试将任何条件设置错误的特征向量矩阵集中到对角线缩放。平衡处理通常无法将非对称矩阵转换为对称矩阵；它仅尝试使各行的范数等于相应列的范数。