# griddedInterpolant

网格数据插值

函数库: TyMath

# 说明

使用 griddedInterpolant 对一维、二维、三维或 N 维网格数据集进行插值。griddedInterpolant 返回给定数据集的插值 F。您可以计算一组查询点（例如二维 (xq,yq)）处的 F 值，以得出插入的值 vq = F(xq,yq)。

使用 scatteredInterpolant 执行散点数据插值。

# 创建对象

# 语法

F = griddedInterpolant()
F = griddedInterpolant(x,v)
F = griddedInterpolant(X1,X2,...,Xn,V)
F = griddedInterpolant(V)
F = griddedInterpolant(gridVecs,V)
F = griddedInterpolant(___,Method)
F = griddedInterpolant(___,Method,ExtrapolationMethod)

# 说明

F = griddedInterpolant() 创建一个空的网格数据插值对象。

F = griddedInterpolant(x,v) 根据样本点向量 x 和对应的值 v 创建一维插值。示例

F = griddedInterpolant(X1,X2,...,Xn,V) 使用作为一组 n 维数组 X1,X2,...,Xn 传递的样本点的完整网格创建二维、三维或 N 维插值。V 数组包含与 X1,X2,...,Xn 中的点位置关联的样本值。每个数组 X1,X2,...,Xn 的大小都必须与 V 相同。示例

F = griddedInterpolant(V) 使用默认网格创建插值。使用此语法时，griddedInterpolant 将网格定义为第 i 维上间距为 1 且范围为 [1, size(V,i)] 的点集。如果您希望节省内存且不在意点之间的绝对距离，则可使用此语法。示例

F = griddedInterpolant(gridVecs,V) 指定一个数组 gridVecs，它包含 n 个网格向量，描述一个 n 维样本点网格。在您要使用特定网格而且希望节省内存时可使用此语法。示例

F = griddedInterpolant(___,Method) 指定插值方法："linear"、"nearest"、"next"、"previous"、"pchip"、"cubic"、"makima" 或 "spline"。您可以在上述任意语法中指定 Method 作为最后一个输入参数。示例

F = griddedInterpolant(___,Method,ExtrapolationMethod) 指定内插和外插方法。当您的查询点位于样本点域之外时，griddedInterpolant 使用 ExtrapolationMethod 估计值。示例

# 输入参数

x - 样本点

向量

样本点，指定为向量。x 和 v 的大小必须相同。x 中的样本点必须唯一。

数据类型： Int | Float

v - 样本值

向量 | 矩阵 | 多维数组

样本值，指定为向量、矩阵或多维数组。v 的元素是对应于 x 中的样本点的值。

要使用一组值进行插值，则 x 和 v 必须为相同长度的向量。
要使用多组值进行插值，则 v 可以是与 x 相比具有额外维度的数组。v 的第一个维度的大小必须与 x 中的采样点数相匹配，并且 v 中的每列都定义一组单独的一维值。例如，如果 x 是一个包含 10 个元素的列向量，则可以将 v 指定为 10×4 矩阵以使用四组不同值进行插值。

数据类型： Int | Float

复数支持：是

X1,X2,Xn - 完整网格形式的样本点

数组

完整网格形式的样本点，指定为单独的 n 维数组。样本点必须唯一且有序。您可以使用 ndgrid 函数创建数组 X1,X2,...,Xn。这些数组的大小相同，且每个数组的大小与 V 相同。

数据类型： Int | Float

gridVecs - 网格向量形式的样本点

网格向量元组

网格向量形式的样本点，指定为网格向量元组 (xg1,xg2,...,xgn)。样本点必须唯一且有序。这些向量必须指定大小与 V 相同的网格。换言之，size(V) = (length(xg1),length(xg2),...,length(xgn))。将此形式用作完整网络的替代方法以在您的网格非常大时节省内存。

数据类型： Int | Float

V - 样本值

数组

样本值，指定为数组。V 的元素是对应于样本点的值。V 的前 N 个维度必须与采样点的完整网格中的对应维度具有相同的大小，其中 N 是网格的维数。

要使用一组值进行插值，请将 V 指定为数组，其大小与采样点的完整网格相同。例如，如果采样点形成一个大小为 100×100 的网格，则可以用相同大小的矩阵来指定值。
要使用多组值进行插值，请将 V 指定为与采样点网格相比具有额外维度的数组。额外维度在每个采样点上定义多个值。例如，如果采样点形成一个大小为 100×100 的网格，则可以将值指定为一个 100×100×4 数组，以使用四组不同的 100×100 值进行插值。

数据类型： Int | Float

复数支持：是

Method - 插值方法

插值方法，指定为下表中的选项之一。

方法	说明	连续性	注释
"linear"（默认值）	线性插值。查询点处的插入值基于各维中邻近网格点处数值的线性插值。这是默认插值方法。	C⁰	每个维需要至少 2 个网格点。比 "nearest" 需要更多内存。
"nearest"	最近邻点插值。查询点处的插入值是距样本网格点最近的值。	不连续	每个维度需要 2 个网格点。内存要求最低，计算速度最快
"next"	下一个邻点插值（仅限于一维）。查询点处的插入值是下一个采样网格点的值。	不连续	需要至少 2 个点。内存要求和计算时间与 "nearest" 相同
"previous"	上一个邻点插值（仅限于一维）。查询点处的插入值是上一个采样网格点的值。	不连续	需要至少 2 个点。内存要求和计算时间与 "nearest" 相同
"pchip"	保形分段三次插值（仅限一维）。查询点处的插入值基于邻近网格点处数值的保形分段三次插值。	C¹	需要至少 4 个点。比 "linear" 需要更多内存和计算时间
"cubic"	三次插值。查询点处的插入值基于各维中邻近网格点处数值的三次插值。插值基于三次卷积。	C¹	网格必须有均匀间距，虽然每个维度上的间距不必相同。每维需要至少 4 个网格点。比 "linear" 需要更多内存和计算时间
"makima"	修正 Akima 三次 Hermite 插值。查询点处的插入值基于次数最大为 3 的多项式的分段函数。为防过冲，已修正 Akima 公式。	C¹	网格必须有均匀间距，虽然每个维度上的间距不必相同。每一维需要至少 2 个点。产生的波动比 "spline" 小，但不像 "pchip" 那样急剧变平计算成本高于 "pchip"，但通常低于 "spline" 内存要求与 "spline" 类似三维及以上方法仍在开发中
"spline"	三次样条插值。查询点处的插入值基于各维中邻近网格点处数值的三次插值。插值基于使用非结终止条件的三次样条。	C²	网格必须有均匀间距，虽然每个维度上的间距不必相同。一维至少需要两个点，二维及以上每维需要至少 4 个网格点。比 "cubic" 需要更多内存和计算时间

数据类型： String

ExtrapolationMethod - 外插方法

外插方法，指定为 "linear", "nearest", "next", "previous", "pchip", "spline", "makima" 或标量值。如果指定该值为标量值，则网格域之外的查询返回该标量值。

如果您省略 ExtrapolationMethod，则默认值是为 Method 指定的值。如果您同时省略 Method 和 ExtrapolationMethod 参数，则两个值均默认为 "linear"。

数据类型： Int | Float | String

复数支持：是

# 属性

gridVectors - 网格向量

元组

网格向量，指定为元组 (xg1,xg2,...,xgn)。这些向量为 values 中的值指定网格点（位置）。网格点必须唯一。

values - 样本点处的函数值

数组

样本点处的函数值，指定为与 gridVectors 中的网格点关联的值数组。

method - 插值方法

内插方法，指定为字符向量。Method 可以是："linear"、"nearest"、"next"、"previous"、"pchip"、"cubic"、"spline" 或 "makima"。有关这些方法的说明，请参阅 Method。

extrapolationMethod - 外插方法

内插方法，指定为字符向量。extrapolationMethod 可以是："linear"、"nearest"、"next"、"previous"、"pchip"、"cubic"、"spline"、"makima"或标量值。标量值的值为常值外插。默认值是 Method 的值。

# 用途

使用 griddedInterpolant 创建插值 F。然后，您可以使用以下任何语法在特定点处计算 F：

Vq = F(Xq)

Vq = F(xq1,xq2,...,xqn)

Vq = F(Xq1,Xq2,...,Xqn)

Vq = F((xgq1,xgq2,...,xgqn))

Vq = F(Xq) 在矩阵 Xq 中指定查询点。Xq 的每一行包含一个查询点的坐标。
Vq = F(xq1,xq2,...,xqn) 以列向量的形式指定查询点 xq1,xq2,...,xqn，列向量的长度为 m，表示分散在 n 维空间的 m 个点。
Vq = F(Xq1,Xq2,...,Xqn) 使用 n 维数组 Xq1,Xq2,...,Xqn 指定查询点，这些数组定义点的完整网格。
Vq = F((xgq1,xgq2,...,xgqn)) 将查询点指定为网格向量。使用此语法可在您要查询大型点网格时节省内存。

# 示例

一维插值

使用 griddedInterpolant 进行一维数据集插值。

创建一个由散点样本点组成的向量 v。这些点是在 0 到 20 之间的随机一维位置进行采样的点。

using TyMath
using TyPlot
rng = MersenneTwister(1234)
x = sort(20 .*rand(rng,100))
v = besselj.(0,x)

为数据创建网格插值对象。默认情况下，griddedInterpolant 使用 "linear" 插值方法。

F = griddedInterpolant(x,v)

查询 0 到 20 之间 500 个均匀间隔点处的插值 F。将插值结果 (xq,vq) 绘制在原始数据 (x,v) 之上。

xq = LinRange(0,20,500)
vq = F(xq)
plot(x,v,"ro")
hold("on")
plot(xq,vq,".")
legend(["Sample Points","Interpolated Values"])

在不指定样本点的情况下进行插值

使用这两种方法对三维数据插值以指定查询点。

创建并绘制一个三维数据集，表示函数在 [-5,5] 范围内的一组网格样本点处计算的结果。

using TyMath
using TyBase
using TyPlot
x,y = ndgrid(-5:0.8:5,dims=2)
z = @. sin(x^2 + y^2) / (x^2 + y^2)
surf(x,y,z)

为数据创建网格插值对象。

F = griddedInterpolant(x,y,z)

使用更精细的网格查询插值并提高分辨率。

xq,yq = ndgrid(-5:0.1:5,dims=2)
vq = F(xq,yq)
surf(xq,yq,vq)

如果存在大量样本点或查询点，或者担心内存使用量太大，您可以使用网格向量来提高内存使用率。

如果您指定网格向量而不是使用 ndgrid 来创建完整网格，则 griddedInterpolant 可以避免为执行计算而生成完整的查询网格。
传递网格向量时，它们通常一组为单位，就像元组 (xg1, xg2, ..., xgn) 中的元一样。网格向量是表示完整网格数据点的紧凑方式。

也可以使用网格向量执行上述命令。

x = -5:0.8:5
z = zeros(length(x),length(x))
for i in CartesianIndices(z)
    xp = x[i[1]]
    yp = x[i[2]]
    z[i] = sin(xp^2+yp^2)/(xp^2+yp^2)
end
F = griddedInterpolant((x,x),z)
xq = -5:0.1:5
vq = F((xq,xq))
surf(xq,xq,vq)

使用默认网格进行插值

使用默认网格对一组样本点执行快速插值。默认网格使用单一间距点，因此当样本点之间的精确 xy 间距不重要时，可以使用这种插值方法。

创建一个样本函数值矩阵，然后绘制它们对默认网格的图。

using TyMath
using TyBase
using TyPlot
x = 1:0.3:5
n = length(x)
V = zeros(n,n)
for i in CartesianIndices(V)
    V[i] = cos(x[i[1]])*sin(x[i[2]])
end
surf(1:n,1:n,V)

使用默认网格插入数据。

F = griddedInterpolant(V)

查询插值并绘制结果。

xq,yq = ndgrid(1:0.2:n,dims=2)
Vq = F(xq,yq)
surf(xq',yq',Vq)

更精细的网格上的二维插值

使用间距为 0.5 的完整网格进行粗略取样的数据插值。

在两个维度中以完整网格形式定义范围为 [1, 10] 的样本点。

using TyMath
using TyBase
using TyPlot
X,Y = ndgrid(1:10,1:10)

在网格点处对进行采样。

V = @. X^2 + Y^2

创建指定三次插值的插值。

F = griddedInterpolant(X,Y,V,"cubic")

使用 0.5 间距定义由查询点构成的完整网格并在这些点计算插值。然后，绘制结果。

Xq,Yq = ndgrid(1:0.5:10,1:0.5:10)
Vq = F(Xq,Yq)
mesh(Xq,Yq,Vq)

一维外插

使用 "pchip" 和 "nearest" 外插方法比较查询 F 的域外插值的结果。

创建插值，并指定 "pchip" 作为内插方法，"nearest" 作为外插方法。

using TyMath
using TyPlot
x = [1,2,3,4,5]
v = [12,16,31,10,6]
F = griddedInterpolant(x,v,"pchip","nearest")

查询插值，并包括 F 的域外部的点。

xq = 0:0.1:6
vq = F(xq)
figure()
plot(x,v,"o",xq,vq,"-b")
legend(["v","vq"])

再次查询相同点的插值，这次使用 pchip 外插方法。

F.extrapolationMethod = "pchip"
figure()
vq = F(xq)
plot(x,v,"o",xq,vq,"-b")
legend(["v","vq"])

为 x 域范围外的所有查询点指定常量值

使用 griddedInterpolant 在相同的查询点上进行三组不同值插值。

使用 −5≤X≤5 和 −3≤Y≤3 创建一个采样点网格。

using TyMath
using TyBase
using TyPlot
gx = -5:5
gy = -3:3
X,Y = ndgrid(gx,gy)

在查询点计算三个不同函数的值，然后将这些值串联成一个三维数组。V 的大小与前两个维度中的 X 和 Y 网格相同，但额外维度的大小反映与每个采样点相关联的值数目（在本例中为三个）。

f1 = @. X^2 + Y^2
f2 = @. X^3 + Y^3
f3 = @. X^4 + Y^4
V = cat(f1,f2,f3,dims=3)

使用采样点和相关联的值创建插值。

F = griddedInterpolant(X,Y,V)

创建一个查询点网格，其网格大小比采样点更细。

qx = -5:0.4:5
qy = -3:0.4:3
XQ,YQ = ndgrid(qx,qy)

在查询点对所有三组值进行插值。

VQ = F(XQ,YQ)

将原始数据与插值后的结果进行比较。

subplot(3, 2, 1)
surf(X, Y, f1)
title("f1")
subplot(3, 2, 2)
surf(XQ, YQ, VQ[:,:,1])
title("Interpolated f1")
subplot(3, 2, 3)
surf(X, Y, f2)
title("f2")
subplot(3, 2, 4)
surf(XQ, YQ, VQ[:,:,2])
title("Interpolated f2")
subplot(3, 2, 5)
surf(X, Y, f3)
title("f3")
subplot(3, 2, 6)
surf(XQ, YQ, VQ[:,:,3])
title("Interpolated f3")
tightlayout()

# 详细信息

插值

可在查询点计算的插值函数。

网格数据

一组轴对齐的有序点。

散点数据

在其相对位置没有结构体的一组点。

完整网格

表示为一组数组的网格。例如，您可以使用 ndgrid 创建完整网格。

网格向量

充当 ndgrid 格式的网格的紧凑表示形式的向量组。

例如，X,Y = ndgrid(xg,yg) 在矩阵 X 和 Y 中返回完整网格。您可以使用网格向量 xg 和 yg 表示同一网格。

# 提示

计算一个 griddedInterpolant 对象 F 在多组不同查询点处的插值比分别使用 interp1、interp2、interp3 或 interpn 计算插值更快。例如：

F = griddedInterpolant(X1,X2,V)

v1 = F(Xq1)

v2 = F(Xq2)

v1 = interp2(X1,X2,V,Xq1)

v2 = interp2(X1,X2,V,Xq2)

# 另请参阅

# 主题

插入网格数据