B 样条与平滑样条

在本工具箱中，带有节点 的 B 样条的定义为：

这只是 B 样条的一种正规化表示，且满足

B 样条的最重要的性质（也是 B 样条中 "B" 的来源）是

任何给定阶数的（单元）分段多项式片段空间都存在 B 样条构成的一个基（Basis，这也是 B 样条中 "B" 的意思）。

B 样条性质

因为 仅在区间 上非零，决定 B 样条样条系数的线性系，无论是来自于插值还是最小二乘逼近甚至是一些微分方程的近似解，都是带状的，这使得求解这样的线性系十分容易。比如，为了构造具有节点序列 ，阶数为 ，且满足对于所有的 的样条 ，使用线性系

决定未知的 B 样条系数 ，而这里的每个方程至多有 个非零元。

同样地，B 样条在有关样条的理论研究中也十分有用。比如，使用阶数为 ，断点序列为 的样条匹配在位点 的任意数据的充要条件是对于所有的 （Schoenberg-Whitney 条件）。B 样条计算可以使用稳定的递推关系

这在把 B 型转为 pp 型时也会用到。对偶泛函

使用样条在在 和 之间的任一点 处的值与导数得到了样条 s 的第 个 B 样条的系数表示，其中 。这也可以用来说明 在区间 上距离 s 很近。这似乎是从 pp 型转为 B 型的最有效率的方法。

变分法与平滑样条

上述的构造方法并不是唯一的。在变分法中，样条是一种最佳插值，即在特点位点与给定值匹配的具有最小的 m 阶导数的函数。该方法说明，在这些可选的样条中，仅仅具有分段多项式形式的或者分段指数形式的具有很多的用处。其中最有实际价值的是平滑样条 s=sp，它在所有具有 m 阶导数的函数 f 中，对于给定的数据 ，其中对于任意 ，以及给定的对应的正权 ，对于给定的平滑参数 p，最小化

平滑样条 s 实际上是阶数为 ，在每个位点处均存在断点的样条。平滑参数 是用以平衡最小化误差测度

与粗糙测度

我们期望 包含尽可能多的数据信息，包含尽可能少的噪音信息。这其中的一个方法（spaps中使用）是使得 在满足 小于给定的容差的前提下尽可能小。因为计算因素，spaps 使用（等价）平滑参数 ，即最小化 。有时使用更加灵活的粗糙测度会更有用

其中 为一个合适的正权函数。

相关主题

• 构造以及处理 B 样条