# rank
矩阵的秩
函数库: TyMath
# 语法
k = rank(A)
k = rank(A,tol)
k = rank(A;atol)
k = rank(A;rtol)
# 说明
k = rank(A,tol) 指定在秩计算中使用相对容差。秩计算为 A 中大于 tol 的奇异值的个数。
k = rank(A;atol) 指定在秩计算中使用绝对容差。秩计算为 A 中大于 atol 的奇异值的个数。示例
k = rank(A;rtol) 指定在秩计算中使用相对容差。秩计算为 A 中大于 rtol 的奇异值的个数。
# 示例
矩阵的秩
确定矩阵是否满秩。
创建一个 3×3 矩阵。第三列中的值是第二列中的值的两倍。
using TyMath
A = [3 2 4; -1 1 2; 9 5 10]
3×3 Matrix{Int64}:
3 2 4
-1 1 2
9 5 10
计算矩阵的秩。如果矩阵满秩，则秩等于列数，size(A,2)。
rank(A)
ans = 2
size(A,2)
ans = 3
由于列是线性相关的，因此该矩阵秩亏。
指定秩绝对容差
使用相对容差计算矩阵的秩。
创建一个 4×4 对角矩阵。对角线上有一个等于 1e-15 的小值。
using TyMath
A = [10 0 0 0; 0 25 0 0; 0 0 34 0; 0 0 0 1e-15]
4×4 Matrix{Float64}:
10.0 0.0 0.0 0.0
0.0 25.0 0.0 0.0
0.0 0.0 34.0 0.0
0.0 0.0 0.0 1.0e-15
计算矩阵的秩。
rank(A)
ans = 3
由于默认算法计算大于 min(size(A)...)*eps(real(float(one(eltype(A))))) 的奇异值的个数，因此该矩阵不被视为满秩。对于此矩阵，对角线上的小值被排除，因为它小于容差。
再次计算矩阵的秩，但指定容差 1e-16。
rank(A,atol=1e-16)
ans = 4
# 输入参数
A - 输入矩阵矩阵
输入矩阵。
数据类型： Integer | Float64 | Float32 | Float16
复数支持： 是
atol - 绝对容差标量
绝对容差，指定为标量。
示例： rank(A,atol=1e-5)
rtol - 相对容差标量
相对容差，指定为标量。
示例： rank(A,rtol=1e-5)
# 详细信息
秩
矩阵中线性无关列的个数是矩阵的秩。一个矩阵的行秩和列秩始终相等。
如果一个矩阵的秩是具有相同大小的矩阵能达到的最高秩，则该矩阵为满秩；如果矩阵不具有满秩，则该矩阵为秩亏。秩用于度量矩阵的范围或列空间的维度，它是所有列的线性组合的集合。
# 算法
rank 使用基于奇异值分解 (SVD) 的方法。SVD 算法相比其他一些方法耗时更多，但它也是最可靠的。