# toeplitz
托普利茨矩阵
函数库: TyMath
# 语法
T = toeplitz(c,r)
T = toeplitz(r)
# 说明
T = toeplitz(c,r) 返回非对称托普利茨矩阵，其中 c 作为第一列，r 作为第一行。如果 c 和 r 的首个元素不同，toeplitz 将发出警告并使用列元素作为对角线。示例
T = toeplitz(r) 返回对称的托普利茨矩阵，其中：
如果 r 是实数向量，则 r 定义矩阵的第一行；
如果 r 是第一个元素为实数的复数向量，则 r 定义第一行，r' 定义第一列；
如果 r 的第一个元素是复数，则托普利茨矩阵是抽取了主对角线的 Hermitian 矩阵，这意味着对于 i≠j 的情况，T[i,j]=conj(T[j,i])。主对角线的元素会被设置为 r(1)。示例
# 示例
创建对称的托普利茨矩阵
using TyMath
r = [1,2,3]
toeplitz(r)
3×3 Matrix{Float64}:
1.0 2.0 3.0
2.0 1.0 2.0
3.0 2.0 1.0
创建非对称的托普利茨矩阵
创建具有指定的列和行向量的非对称托普利茨矩阵。因为列向量和行向量的首个元素不匹配，toeplitz 发出警告并使用列作为对角线上的元素。
using TyMath
c = [1,2,3,4]
r = [4,5,6]
toeplitz(c,r)
┌ Warning: Syslab:toeplitz:DiagonalConflict
4×3 Matrix{Float64}:
1.0 5.0 6.0
2.0 1.0 5.0
3.0 2.0 1.0
4.0 3.0 2.0
创建包含复数行和列向量的托普利茨矩阵。
c = [1+3im,2-5im,-1+3im]
r = [1+3im,3-1im,-1-2im]
T = toeplitz(c,r)
3×3 Matrix{ComplexF64}:
1.0+3.0im 3.0-1.0im -1.0-2.0im
2.0-5.0im 1.0+3.0im 3.0-1.0im
-1.0+3.0im 2.0-5.0im 1.0+3.0im
使用 toeplitz 函数创建循环矩阵
您可以使用 toeplitz 创建循环矩阵。循环矩阵在循环卷积等应用中使用。
使用 toeplitz 从向量 v 创建循环矩阵。
using TyMath
v = [9,1,3,2]
toeplitz([v[1];reverse(v[2:end])], v)
4×4 Matrix{Float64}:
9.0 1.0 3.0 2.0
2.0 9.0 1.0 3.0
3.0 2.0 9.0 1.0
1.0 3.0 2.0 9.0
通过使用 toeplitz 为卷积构建循环矩阵来执行离散时间的循环卷积。
定义周期性输入 x 和系统响应 h。
x = [1,8,3,2,5]
h = [3,5,2,4,1]
构建列向量 c 以创建循环矩阵，其中 length(c) = length(h)。
c = [x[1] ;reverse(x[end-length(h)+2:end])]
5-element Vector{Int64}:
1
5
2
3
8
r = x
使用 toeplitz 构建卷积矩阵 xConv。使用 h*xConv 求卷积。
xConv = toeplitz(c,r)
5×5 Matrix{Float64}:
1.0 8.0 3.0 2.0 5.0
5.0 1.0 8.0 3.0 2.0
2.0 5.0 1.0 8.0 3.0
3.0 2.0 5.0 1.0 8.0
8.0 3.0 2.0 5.0 1.0
h'*xConv
1×5 adjoint(::Vector{Float64}) with eltype Float64:
52.0 50.0 73.0 46.0 64.0
使用 Toeplitz 的离散时间卷积
通过使用 toeplitz 为卷积构建数组，执行离散时间卷积。
定义输入 x 和系统响应 h。
using TyMath
x = [1,8,3,2,5]
h = [3,5,2]
通过用 0 填充 x 构建 r。r 的长度是卷积长度 x + h - 1。
r = vec([x;zeros(1,length(h)-1)'])
7×1 Vector{Float64}:
1.0
8.0
3.0
2.0
5.0
0.0
0.0
构建列向量 c。将第一个元素设置为 x(1)，因为该列确定对角线。填充 c，因为 length(c) 必须等于卷积的 length(h)。
c = vec([x[1];zeros(1,length(h)-1)'])
使用 toeplitz 构建卷积矩阵 xConv。然后，使用 h*xConv 求卷积
xConv = toeplitz(c,r)
3×7 Matrix{Float64}:
1.0 8.0 3.0 2.0 5.0 0.0 0.0
0.0 1.0 8.0 3.0 2.0 5.0 0.0
0.0 0.0 1.0 8.0 3.0 2.0 5.0
h'*xConv
ans =
3.0 29.0 51.0 37.0 31.0 29.0 10.0
使用 conv 检查结果是正确的。
conv(x,h)
7-element Vector{Int128}:
3
29
51
37
31
29
10
# 输入参数
c - 托普利茨矩阵的列标量|向量
托普利茨矩阵的列，指定为标量或向量。如果 c 和 r 的首个元素不同，toeplitz 将使用列元素作为对角线。
如果您提供的 n 小于 3，则 magic 将返回非幻方矩阵或退化幻方矩阵 1 和 [ ]。
数据类型： Float16 | Float32 | Float64 | Int8 | Int16 | Int32 | Int64 | Int128 | UInt
复数支持： 是
r - 托普利茨矩阵的行标量|向量
托普利茨矩阵的行，指定为标量或向量。如果 c 和 r 的首个元素不同，则 toeplitz 将使用列元素作为对角线。
数据类型： Float16 | Float32 | Float64 | Int8 | Int16 | Int32 | Int64 | Int128 UInt
复数支持： 是
# 详细信息
托普利茨矩阵
托普利茨矩阵是对角线为常量的矩阵，这意味着沿对角线的所有元素都具有相同的值。对于托普利茨矩阵 A，Ai,j = ai–j，结果的形式如下：
