# cauchy
柯西矩阵
函数库: TyMath
# 语法
A = cauthy([T],x,y)
A = cauthy([T],x)
# 说明
A = cauchy([T],x,y) 返回一个 n×n 矩阵，其中包含的项满足 A[i,j] = 1/(x[i]+y[j])。参数 x 和 y 是长度为 n 的向量，T 为可选返回类型参数。如果您为 x 和 y 传入标量，它们将解释为向量 1:x 和 1:y。示例
A = cauchy([T], x) 返回与上述 y = x 的情况相同的结果。换言之，A[i,j] = 1/(x[i]+x[j])。示例
# 示例
柯西矩阵的生成及其性质
对给定的恒正、递增、不含有共有元素的 X 和 Y 生成对应的 cauchy 矩阵。
using TyMath
X = [1,3,5,6,7]
Y = [2,6,7,8,10]
C = TestArrays.cauchy(X,Y)
C = 5×5 Matrix{Float64}:
0.333333 0.142857 0.125 0.111111 0.0909091
0.2 0.111111 0.1 0.0909091 0.0769231
0.142857 0.0909091 0.0833333 0.0769231 0.0666667
0.125 0.0833333 0.0769231 0.0714286 0.0625
0.111111 0.0769231 0.0714286 0.0666667 0.0588235
由于 X 和 Y 含有共有元素, det(C) 为零。
det(C)
ans = 2.357483478207392e-17
由于 X 恒正、递增，使用 X 生成的 cauchy 矩阵为对称正定阵。
C = TestArrays.cauchy(X)
eigenC = eigen(C).values
C = 5×5 Matrix{Float64}:
0.5 0.25 0.166667 0.142857 0.125
0.25 0.166667 0.125 0.111111 0.1
0.166667 0.125 0.1 0.0909091 0.0833333
0.142857 0.111111 0.0909091 0.0833333 0.0769231
0.125 0.1 0.0833333 0.0769231 0.0714286
eigenC = 5-element Vector{Float64}:
1.460969227992038e-7
5.045242222152628e-5
0.0037801834568022743
0.10550546622236223
0.8120923232302627
对于任何非负数 r（这里取为 1.5），C.^r 为对称半正定阵。
r = 1.5
Cr = C.^r
eigenCr = eigen(Cr).values
eigenCr = 5-element Vector{Float64}:
1.012860912605185e-7
3.1917855616886315e-5
0.0024246625640654954
0.05713628615052903
0.43677093100689623
# 输入参数
x - 输入向量标量 | 向量
输入向量，指定为向量或标量。对于标量输入，将会被解释为 1:x。
y - 输入向量标量 | 向量
输入向量，指定为向量或标量。对于标量输入，将会被解释为 1:y。
T - 输出类型类型
输出类型，指定为类型（Type）。该参数为可选参数，如果不指定，会依据输入的默认值。如果可能，函数将会输出 T 指定类型的矩阵。
# 输出参数
A - 输出矩阵矩阵
输出矩阵，以矩形形式返回。
# 参考
[1] R. Bhatia, Infinitely divisible matrices, Amer. Math. Monthly, (2005), to appear.
[2] D. E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 1, Fundamental Algorithms, third edition, Addison-Wesley, Reading,Massachusetts, 1997.
[3] E. E. Tyrtyshnikov, Cauchy-Toeplitz matrices and some applications, Linear Algebra and Appl., 149 (1991), pp. 1-18.
[4] O. Taussky and M. Marcus, Eigenvalues of finite matrices, in Survey of Numerical Analysis, J. Todd, ed., McGraw-Hill, New York, 1962, pp. 279-313.