Body – 刚体

1)        模型路径

TYMultibody.Bodies.Body

2)        模型图标

3)        功能描述

1. 该模型创建通用的刚体模型，具有恒定质量和转动惯量，刚体在左侧具有接口坐标系a（默认作为体坐标系），右侧具有接口坐标系b，刚体的质心位于G点；
2. 当该刚体的状态被作为系统状态变量时，具有12个状态变量（3个位置变量，3个速度变量，3个姿态变量，3个角速度变量）；
3. 该模型支持的三维动画格式有：STEP、IGES、stl、.obj等；

4)        基本假设

恒定质量的理想刚体模型。

5)        模型接口

接口类型	接口名称	变量名称	单位	数据类型	描述
多体接口	frame_a	r_0[3]	m	Real	位移
		R	-	-	姿态模型
		f[3]	N	Real	力向量
		t[3]	Nm	Real	力矩向量
多体接口	frame_b	r_0[3]	m	Real	位移
		R	-	-	姿态模型
		f[3]	N	Real	力向量
		t[3]	Nm	Real	力矩向量

6)        模型参数

1.      常规参数 - General

参数名称	默认值	单位	类型	描述
r_AG_a	{0,0,0}	m	Real	质心点G的局部坐标（参考体坐标系a）
r_AB_a	{0,0,0}	m	Real	接口点B的局部坐标（参考体坐标系a）
m	1	kg	Real	质量
Ixx	0.001	kgm^2	Real	绕Gx轴转动惯量（参考质心坐标系g）
Iyy	0.001	kgm^2	Real	绕Gy轴转动惯量（参考质心坐标系g）
Izz	0.001	kgm^2	Real	绕Gz轴转动惯量（参考质心坐标系g）
Ixy	0	kgm^2	Real	惯性积Ixy（参考质心坐标系g）
Ixz	0	kgm^2	Real	惯性积Ixz（参考质心坐标系g）
Iyz	0	kgm^2	Real	惯性积Iyz（参考质心坐标系g）

2.      初始化 - Initialization

参数名称	默认值	单位	类型	描述
r_OA_0.start	{0,0,0}	m	Real	接口点A的全局位置
v_OA_0.start	{0,0,0}	m	Real	接口点A的全局速度
angles_fixed	false	--	Boolean	锁定坐标系a的初始姿态角
angles_startDeg	{0,0,0}	deg	Real	坐标系a的全局姿态角位移初始值
sequence_start	{1,2,3}	--	Real	姿态角旋转顺序
om_0_fixed	false	--	Boolean	锁定初始全局角速度
om_0_start	{0,0,0}	--	rad/s	初始全局角速度

3.      动画 - Animation

参数名称	默认值	单位	类型	描述
ShowShape	true	--	Boolean	显示几何形状
shapeType	“cylinder”	--	enumeration	Shape类型
r_shape	{0,0,0}	m	Real	Shape坐标系在体坐标系a中位置向量
lengthDirection	{1,0,0}	--	Real	Shape长度方向向量
widthDirection	{0,1,0}	--	Real	Shape宽度方向向量
length	1	m	Real	Shape长度
width	0.2	m	Real	Shape宽度
height	0.2	m	Real	Shape高度
extra	0	--	Real	附加参数
ShapeColor	{0,0,255}	--	Real	Shape颜色
specularCoefficient	0.7	--	Real	光反射系数

4.      高级参数 - Advanced

参数名称	默认值	单位	类型	描述
enforceStates	false	--	Boolean	强制使用刚体状态变量
useQuaternions	false	--	Boolean	使用四元数
sequence_angleStates	{1,2,3}	--	enumeration	姿态角旋转顺序

7)        模型变量

1.      结果变量

变量名称	单位	类型	描述
r_OA_0[3]	m	Real	接口点A全局位置向量
v_OA_0[3]	m/s	Real	接口点A全局速度向量
a_OG_0[3]	m/s^2	Real	接口点A全局加速度向量
r_OG_0[3]	m	Real	接口点A全局位置向量
v_OG_0[3]	m/s	Real	接口点A全局速度向量
a_OG_0[3]	m/s^2	Real	接口点A全局加速度向量
om_a[3]	rad/s	Real	接口坐标系a旋转角速度（参考坐标系a）
alp_a[3]	rad/s^2	Real	接口坐标系a旋转角加速度（参考坐标系a）
g_0	m/s^2	Real	全局重力加速度

8)        参数设置

1. shapeType=“box”，显示为立方体，用户可设置长宽高和其方向向量；

2. shapeType=“sphere”，显示为球体，当长宽高相同时，是标准球体，反之为椭球体；

3. shapeType=“cylinder”，显示为圆柱体，用户可设置长度和直径，当width和height不同时候，显示为椭球截面的圆柱；

4. shapeType=“pipecylinder”，可定义空心圆筒，当extre=0时，显示为实心圆柱，和cylinder完全相同，当0<extre<1，则有extre=圆筒外径/圆筒内径；

5. shapeType=“cone”，显示为锥台体，有extre=0，表示圆锥；extre=1，表示圆柱；其他extre=上底面直径/下底面直径；

6. shapeType=“pipe”，显示为管，除了extre=0表示空心管，其他和pipecylinder一样；

7. shapeType=“beam”，显示为梁，表示半圆柱+长方体+半圆柱，extre失效；

8. shapeType=“gear”，显示为齿轮，extre<0表示内齿轮，反之为外齿轮，extre可以定义齿轮的齿数，齿轮齿数最少为三根齿；

8. shapeType=“spring”，显示为弹簧，extre数值表示圈数，extre正负表示沿x轴生成动画的方向，height=2* width，width表示线圈宽度。

9. shapeType=“动画路径”，显示为外部导入几何体，这里可以给定相对路径（同一package下的文件名）和绝对路径（例如：modelica://Modelica/R/xx.stl）

9)        模型原理

（1）            刚体转动惯量

刚体绕其质心G在质心坐标系g中转动惯量矩阵定义为

其中转动惯量参数定义为

, ,

, ,

在模型输入刚体转动惯量参数时，需要输入转动惯量参数（,,,,,），这些参数可以通过常用的CAD软件计算或者通过测试设备测量得到。刚体的转动惯量与参考坐标系位置和姿态有关，该模型需要用户输入参考质心坐标系的转动惯量值，在使用CAD软件计算或测量转动惯量时应注意选取的转动惯量参考坐标系是否与模型中的刚体质心坐标系相同，否则需要转换。

注意，Modelica标准库的刚体惯量输入参数为转动惯量矩阵的矩阵元素（,,,,,），这与该模型输入的惯性矩参数（,,,,,）不同。按本模型库的惯性积定义，转动惯量矩阵元素和惯性积参数有如下关系：

，，

需注意不同模型库和CAD软件对惯性积的定义的不同，某些软件定义惯性积的积分公式前带有负号。

此外，该模型自带对转动惯量基本属性的检测和报错

,  ,

（2）            运动方程

该模型在刚体上定义两个接口点A和点B，默认参考坐标系为左端接口a坐标系。通过设定在体坐标系a中的坐标向量和，定义两接口与全局坐标系0（世界坐标系）的原点为点，刚体的体坐标系位于质心点G，则质心点G在全局坐标系0中的坐标向量为。

默认使用欧拉角，旋转顺序为313（z-x-z），则刚体质心坐标系g相对于全局坐标系0的旋转变换矩阵为

其中为的缩写，为的缩写，以此类推。

体坐标系G在全局坐标系中的平移速度为

体坐标系G在全局坐标系0中的旋转角速度为

体坐标系G在自身坐标系G中的旋转角速度为

通过冲量守恒可以列出刚体平移运动方程，刚体转动和其所受力矩对刚体的平移运动无影响，即

其中为刚体质量，为刚体在其质心G点所受外力的合力，即

其中为在刚体质心G点的重力加速度向量。

 刚体转动运动方程可以通过角动量守恒列出，即

其中为刚体绕质心G点在质心坐标系中的转动惯量矩阵，为质心坐标系G绕其自身坐标系的旋转角速度，为刚体在质心G点出所受的外力矩之和。通常情况下，刚体的转动惯量矩阵为常量，角动量方程可以写成如下形式

10)   参考文献

[1] WoernleC . Mehrkörpersysteme[M]. SpringerBerlinHeidelberg, 2016.

[2] Elmqvist H , Ab D , Germany O , et al. The New Modelica Multibody Library[C]// 2003.

[3] 刘延柱，潘振宽，戈新生.多体系统动力学[M].第二版.北京.2014.7