# 参数矩阵

本文介绍参数矩阵的详细功能。

# 文件

如下图所示，针对文件，模型试验设计工具箱提供打开会话与保存会话两种操作方式。
其中保存会话允许用户将当前的所有试验配置等相关信息以 xml 标记语言形式保存至本地任意一位置，而保存文件的格式支持自定义。
打开会话功能如其名，该功能目前暂时不支持打开跨版本会话与非当前模型会话。

# 参数

编辑参数支持用户自定义输入集与输出集，且支持用户自定义输入集与输出集参数在工具箱内部的显示名称。
要实现增加或删除参数和变量功能，可通过输入集或输出集右侧的 "+" 与 "-" 功能按钮实现。

# 试验方案

试验方案功能支持批量仿真、试验设计、蒙特卡洛分析与时变参数四种试验设计方案。以下将逐一进行介绍。

# 批量仿真

批量仿真支持定义两种设计方法，包括用户数据集和等间距数据；此外，该功能界面支持通过“隐藏未使用参数”与“全部选中”来一键隐藏未选中的参数或一键选中全部参数。
以下将逐一介绍批量仿真中所包含的各种设计方法。

用户数据集界面如下图所示，该功能支持用户手动设置参数数值，其中每一列为一组设计方案；增删设计方案可通过界面右侧"+"与"-"功能按钮实现（支持用户在任意一设计方案处进行增删操作）。

# 试验设计

试验设计功能界面如下，该功能支持全因子、正交设计、拉丁超立方设计和中心复合设计四种试验类型。

1. 全因子

该设计的功能操作界面如下图所示，使用时需手动将每个参数的数据集输入到指定的参数的水平数据表中，然后工具箱会对所有选中的参数的参数集进行多维笛卡尔积操作得到所有可能的有序对的集合，最终得到一个全因子的设计方案。
为进一步说明全排列基本原理，以下通过一个例子进行阐述。
假设集合、，则笛卡尔积可以通过以下方式计算：

根据上式，最终得到的笛卡尔积为：

2. 中心复合设计

以下将以三因子试验为基础介绍中心复合设计基本原理。

案例：假设现有一个用于生产硅酸盐的化工生产模型，其中反应罐的温度、压力与催化剂的量是影响产物中硅酸盐含量的三个关键参数，其中温度的范围大概在、压力在、催化剂的量在；现在希望通过最少的试验次数（节约试验成本）确定合适的温度、压力和催化剂量的数值，以优化产物质量（提高硅酸盐含量）。

对该案例使用中心复合设计进行优化试验。

为了简化设计计算量，我们现将温度、压力与催化剂的量进行量化，使其数值范围在之间，归一化之后各参数如下式（1）、（2）、（3）所示。

如下图所示，为得到中心复合设计所需的试验点，将三个因子、和分别设定为三维坐标系的三个轴，黑色的点称之为角点、绿色的点称之为轴向点、红色的点称之为原点；其中角点一共有 8 个，且每个角点到每个轴的垂直距离均为 1，因此角点位于中心点为 (0, 0, 0)、边长为 2 的立方体的顶点之上；轴向点到原点的距离取为（取），每个轴上正负半轴均分布两个点，一共 6 个点。上述角点、轴向点和原点即为该中心复合设计试验点，其总数一共为（中心点只进行一次试验），也就是说经过设计该案例最终需要经过 15 次试验即可大致确定合适的参数数值，其中 8 个角点的坐标分别为、6 个轴向点的坐标分别为，这就是中心复合设计。

上述案例介绍了三因子条件下中心复合设计的实现原理，实际对于二因子、四因子或更多的因子来说，同三因子中心复合设计原理一致，由于当实验超过三个的因子时，无法绘制高维空间进行表示，以下以代数形式进行推理。

假设目前实验存在个因子（默认每个因子均已按照上式 (1)、(2)、(3) 的形式进行量化至），那么可以将个因子的分布表示为一个维空间；在这个维空间中，角点的数量为个（全因子试验）、轴向点的数量为个；其中各点的坐标表示如同案例中三因子中心复合设计一样，例如个因子的中心点坐标为；轴向点坐标为；角点坐标值为。

中心复合设计通常主要包括三种类别：中心复合序贯设计（CCC）、中心复合有界设计 (CCI) 和中心复合表面设计 (CCF)。

（1）对于中心复合序贯设计，轴向点位于立方体之外，轴向距离为：

通常典型的中心复合序贯设计轴向距离取为，此时中心复合序贯设计的设计区域为一个球形，试验会具有较高的效率，且此时轴向点位于试验条件限制之外(因子的取值范围之外)，这种设计可以模拟模型在极端情况下的响应输出。

（2）对于中心复合有界设计，轴向点位于设计域的边界之上，也就是立方体的表面，此时轴向距离为，此时对应的角点的坐标值为:

当实验受到一些外在条件的制约，希望试验水平安排不超过立方体边界时，可以减少因子集合的范围，使得轴线点落在每个因子的设计域内部，这就是中心复合有界设计。

（3）对于中心复合表面设计，轴向点位于立方体的表面，轴向距离为，此时角点的坐标值为：

即所有的点均落在了立方体的表面。
无论采用哪种类型的中心复合设计，总的试验次数均为：

其中，为原点的试验次数中心点的个数是中心复合设计中的关键因素，合理的选择中心点的个数决定着设计结果的方差大小。

对于有些真实的试验场景来说，总会存在着一些随机变化的因素，这些因素会使系统即使在相同的信号输入下，输出也会产生不同幅度的变化，因此对中心点进行多次重复试验往往是有必要的。

3. 正交设计

正交试验设计是一种统计学方法，用于在多因素实验中高效地安排和分析实验。这种方法的核心思想是通过选择代表性的实验条件组合，来评估多个因素对实验结果的影响，同时减少所需的实验次数。正交试验设计特别适用于因素多、水平多的复杂实验。

多因子同水平数目的正交试验表示：

其中，表示试验次数、表示因子的水平数量、表示水平数量为的因子数量（这里前提条件是所有的因子水平数目量相等）。

多因子不同水平数目的正交试验表示：

其中，表示一个试验集中共有个因子，有个因子具有个水平。

正交设计推理：对于正交设计，可以定义的因子（或者第列）水平的示性集合，其中：

又可表示为：

式中，为正交表行数；为正交表列数；与第个因子的水平数量大小相等，这里仅是用于构建正交表的因子水平索引；表示正交表中每一列中因子水平的索引值（下标从 0 开始）。

集合内元素的个数记为，示性集合即设计的第列的水平的行下标的集合，则满足正交表的条件准则是：

提示

正交表的列数与试验的因子数量相等；为理解上述定义，可将每个因子的水平想象为一个数组，而正交表中填充的数字编码，就是水平数组的下标索引值，这个索引值是从 0 开始的。
以上准则的含义是，若是一个正交表，表中每一列（用表示）的并集必等于，即每一列中因子的所有水平必须全部至少出现一次；另一方面，表中任意两列的交集绝不为空，即任意两个因子，在所有试验中至少出现过一次下标索引相同的水平。

例如，取试验设计列表为如下正交设计：

按正交设计推理有：

显然对每一个因子，示性集合组成的一个分割，并且，由此可见，任意正交设计中的每一列，甚至任意设计中的每一列，都可以对作出分割。

4. 拉丁超立方设计

对于的设计（表示试验次数、表示参数数量），如果其每列均满足在任一区间中有且仅有一个设计点，则称为拉丁超立方体设计，该设计矩阵表示为。

提示

对于取值范围为参数，在使用拉丁超立方进行试验设计时，为了更加方便的进行数据处理，通常先将其归一化至，即做如下式变换：

在模型试验设计工具箱中，使用的拉丁超立方设计构造方法是：在每个间隔区间内使用随机采样的方式抽取一个点，然后再将最后的采样计集合进行随机打乱，以使所有的试验点分布的更加均匀。

例如，对于一个的拉丁超立方设计，首先按照划分区间进行随机采样，采样结果如下表 1 所示，然后再将每一列数据进行随机打乱，得到表 2，即得到最终的拉丁超立方试验设计方案。

表 1	表 2

# 时变参数

时变参数设计是为了在仿真过程中使参数的数值按照某个特定的规律进行变化而设计的。
如下图所示，时变参数功能界面上包含随机样本数量（生成的采样曲线数量）、最小值、最大值、采样方式和采样参数设置（界面最右侧设置按钮），其中采样方式支持三角波、正弦波和方波。
模型试验

单击某个采样方式右侧的参数设置按钮，即可弹出该采样方式的参数设置面板（如下图所示），该功能面板包括频率、相位、振幅和基线基本参数以最小值和最大值两个范围参数。
模型试验
单击预览，即可查看当前依据参数设置生成的采样波形（如下图所示）；图中曲线的数目与随机样本数量数值一致，横坐标最大刻度值与仿真结束时间一致，若修改了频率等参数的数值，单击重新生成即可查看修改后的波形图。
得到这样的样本波形后，在每个仿真时刻点，参数都会在样本波形上取一个值，由此便可以实现时变参数试验设计。

其中正弦波生成依据如下公式生成，式中表示振幅、表示偏置（基线）、表示频率、表示相位。

方波的生成依据如下式所示：

式中表示符号函数（如下式所示）。

三角波的基本原理如下式所示，其中是向下取整函数。

# 曲线窗口

模型试验设计工具箱支持绘制批量曲线、终值曲线、直方图、三维曲面和高级绘图，其中直方图主要是针对蒙特卡洛分析、三维图主要针对试验设计绘制对应的图像；而高级绘图允许用户指定横纵坐标绘制笛卡尔坐标图。


(a) 批量曲线	(b) 终值曲线

(c) 直方图	(d) 曲面图

(e) 高级绘图

# 结果与选项设置

# 导出已选择的结果

导出已选择的结果支持用户导出指定的结果集数值。
模型试验

# 选项和设置

选项设置功能界面如下图所示，其中试验结果目录和组件选型工作目录不支持修改；并行数目和直方图条数允许修改，并行数目为仿真开启的线程数目，该值默认为当前电脑线程的一半，不可超过电脑允许的最大线程数目。此外该界面还提供是否导出输入集功能选项，若勾选该项，则导出的结果中会包设置严重已勾选的输入集参数数值。
模型试验