稀疏矩阵的图形表示

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此示例说明 NASA 翼型的有限元网格，包括两个尾翼。

数据存储在文件 airfoil.mat 中。数据由 4253 对 (x,y) 网格点坐标组成。此外，还包含一个由 12,289 对索引 (i,j) 组成的数组，这些索引指定网格点之间的连接。

将数据文件加载到工作区。

using TyMath
using TyPlot
using TyBase
path = pkgdir(TyMath)
datapath = path * "/data/airfoil.mat"

load(datapath)

查看有限元网格

首先，将 x 和 y 分别以 为比例缩小，使其处于范围 [0,1] 内。然后，从 (i,j) 连接点构造稀疏邻接矩阵，并将其设为正定矩阵。最后，使用 (x,y) 作为顶点（网格点）的坐标绘制邻接矩阵。

x = pow2(x,-32)
y = pow2(y,-32)

n = max(maximum(i),maximum(j));
n=Int(n)
v=ones(length(i))*-1
A = sparse(vec(i),vec(j),v,n,n);
A = A + A';
d = abs.(sum(A,dims=1)) .+ 1;
A = A + diagm(vec(d));

gplot(A,[x y])
title("Airfoil Cross-Section") 

可视化稀疏模式

您可以使用 spy 可视化矩阵中的非零元素，该函数尤其适用于查看稀疏矩阵中的稀疏模式。spy(A) 可以绘制矩阵 A 的稀疏模式。

spy(A)
title("Airfoil Adjacency Matrix")

对称重新排序 - 反向卡西尔-麦基

symrcm 使用反向卡西尔-麦基方法对邻接矩阵重新排序。r = symrcm(A) 返回置换向量 r，因此，相对于 A，A[r,r] 往往具有更接近对角线的对角线元素。对于来自“瘦长”问题的矩阵的 LU 或乔列斯基分解来说，这是一种很好的预排序方法。此方法对于对称和非对称矩阵都适用。

r = symrcm(sparse(A))         
spy(A[r,r])           
title("Reverse Cuthill-McKee")

对称重新排序 - 列置换

使用 j = COLPERM(A) 可返回一个置换向量，该向量以非零计数的非递减顺序对稀疏矩阵 A 的各列进行重新排序。此方法有时很有用，可作为对 LU 分解的预排序方法，如 lu(A[:,j])。

j = colperm(sparse(A)) 
spy(A[j, j])       
title("Column Count Reordering")

对称重新排序 - 对称近似最小度

symamd 可以进行对称近似最小度置换。对于对称正定矩阵 A，命令 p = symamd(S) 返回置换向量 p，因此 S[p,p] 倾向于比 S 具有更稀疏的乔列斯基因子。有时 symamd 也适用于对称的非正定矩阵。

m = symamd(sparse(A))      
spy(A[m, m])        
title("Approximate Minimum Degree")