通过优化拟合曲线

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本示例说明如何使用非线性函数对数据进行拟合。

在本示例中，非线性函数是标准指数衰减曲线 。

其中，y(t) 是时间 t 时的响应，A 和 λ 是要拟合的参数。对曲线进行拟合是指找出能够使误差平方和最小化的参数 A 和 λ

其中，时间为 ，响应为 ,i=1,…,n。误差平方和为目标函数。

创建样本数据

通常，您要通过测量获得数据。在此示例中，请基于 A=40 和 λ=0.5 且带正态分布伪随机误差的模型创建人工数据。

using TyMath
using TyPlot
using TyOptimization
rng = MT19937ar(5489) # for reproducibility
tdata = 0:0.1:10;
ydata = 40 * exp.(-0.5 * tdata) + randn(rng, size(tdata));

编写目标函数

编写一个函数，该函数可接受参数 A 和 lambda 以及数据 tdata 和 ydata，并返回模型 y(t) 的误差平方和。将要优化的所有变量（A 和 lambda）置入单个向量变量 (x)。

function sseval(x, tdata, ydata)
    A = x[1]
    lambda = x[2]
    sse = sum((ydata - A * exp.(-lambda * tdata)) .^ 2)

    return sse
end

fminsearch 求解器适用于一个变量 x 的函数。但 sseval 函数包含三个变量。额外变量 tdata 和 ydata 不是要优化的变量，而是用于优化的数据。将 fminsearch 的目标函数定义为仅含有一个变量 x 的函数：

fun = x -> sseval(x, tdata, ydata);

求最优拟合参数

从随机正参数集 x0 开始，使用 fminsearch 求使得目标函数值最小的。

x0 = rand(rng, 2);
bestx, = fminsearch(fun, x0)

bestx = 2-element Vector{Float64}:
 40.687700233172286
  0.49841877756422254

结果 bestx 与生成数据的参数 A = 40 和 lambda = 0.5 相当接近。

检查拟合质量

要检查拟合质量，请绘制数据和生成的拟合响应曲线。根据返回的模型参数。

A = bestx[1];
lambda = bestx[2];
yfit = A * exp.(-lambda * tdata);
plot(tdata, ydata, "*");
hold("on")
plot(tdata, yfit, "r");
xlabel("tdata")
ylabel("Response Data and Curve")
title("Data and Best Fitting Exponential Curve")
legend(["Data", "Fitted Curve"])
hold("off")