2026a

# ellipj

Jacobi 椭圆积分

函数库: TyMath

# 语法

SN,CN,DN = ellipj(U,M)
SN,CN,DN = ellipj(U,M,tol)

# 说明

SN,CN,DN = ellipj(U,M) 返回 Jacobi 椭圆函数 SN、CN 和 DN，针对实参 U 和形参 M 的相应元素对这些函数求解。输入 U 和 M 的大小必须相同，或者 U 或 M 必须为标量。示例

SN,CN,DN = ellipj(U,M,tol) 以 tol 精度计算 Jacobi 椭圆函数。tol 的默认值是 eps()。增加 tol 会降低精度，但计算答案的速度会更快。示例

# 示例

求 Jacobi 椭圆函数

求 U = 0.5 和 M = 0.25 的 Jacobi 椭圆函数。

using TyMath
s,c,d = ellipj(0.5,0.25)

s = 0.47508293602853646
c = 0.8799410229637583
d = 0.9713773988381789

绘制 Jacobi 椭圆函数

绘制 -5≤U≤5 和 M = 0.7 的 Jacobi 椭圆函数。

using TyMath
using TyPlot
M = 0.7
U = -5:0.01:5
SCD = ellipj.(U,M)
S = map(x->x[1],SCD)
C = map(x->x[2],SCD)
D = map(x->x[3],SCD)
plot(U,S,U,C,U,D)
legend(["SN","CN","DN"])
grid("on")
title("Jacobi Elliptic Functions sn,cn,dn")

生成 Jacobi 椭圆函数 sn 的曲面图

在 M 的允许范围内和 -5≤U≤5 内生成 Jacobi 椭圆函数 sn 的曲面图。

using TyMath
using TyBase
using TyPlot
M,U = meshgrid2(0:0.1:1,-5:0.1:5)
S = ellipj.(U,M)
S = map(x->x[1],S)
surf(U,M,S)
xlabel("U")
ylabel("M")
zlabel("sn")
title("Surface plot of Jacobi Elliptic Function sn")

通过更改容差更快地计算 Jacobi 椭圆积分

tol 的默认值是 eps()。使用 tic 和 toc 求任意 M 为默认值时的运行时间。按因子 1000 增加 tol 并计算运行时间。比较运行时间。

using TyMath
@time ellipj(0.253,0.937)

0.000016 seconds
(0.24789831515346017, 0.9687860575710593, 0.9707821591620847)

@time ellipj(0.253,0.937,eps()*1000)

0.000002 seconds
(0.24789831515346017, 0.9687860575710593, 0.9707821591620847)

容差明显增加时，ellipj 的运行速度明显加快。

# 输入参数

U - 输入数组

标量 | 向量 | 矩阵 | 多维数组

输入数组，指定为标量、向量、矩阵或多维数组。U 仅限于实数值。如果 U 是非标量，M 必须是大小与 U 相同的标量或非标量。

M - 输入数组

标量 | 向量 | 矩阵 | 多维数组

输入数组，指定为标量、向量、矩阵或多维数组。M 可取值 0≤ m ≤1。如果 M 是非标量，U 必须是大小与 M 相同的标量或非标量。使用 [1] 中方程 16.10 和 16.11 所述的转换将 M 的其他值映射到该范围。

tol - 结果的精度

eps()(默认) | 非负实数

结果的精度，指定为非负实数。默认值为 eps()。

# 输出参数

SN,CN,DN - Jacobi 椭圆函数 sn,cn,dn

Jacobi 椭圆函数 sn，cn，dn 以元组形式返回。

# 详细信息

Jacobi 椭圆函数

Jacobi 椭圆函数是从积分角度定义的

然后，

有些椭圆函数的定义使用椭圆模数 k 或模角 α，而不使用参数 m。它们的关系如下：

Jacobi 椭圆函数遵守许多数学恒等式。要查看恰当的示例，请参见 [1]。

# 算法

ellipj 使用 [1] 中介绍的算术几何平均数方法计算 Jacobi 椭圆函数。首先定义三元组：

ellipj 使用以下公式计算连续迭代：

然后，它使用以下公式计算振幅（以弧度为单位）：

请注意正确展开相位。然后，Jacobian 椭圆函数则可表示为：

# 参考文献

[1] Abramowitz, M. and I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, 1965, 17.6.

# 另请参阅

ellipke